电磁学

物理量说明

推导过程

库仑定律由扭秤实验得出,形式与万有引力高度相似,均满足平方反比规律:

将静电力常量写成 $k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}$,其来源是点电荷电场的球对称性。对半径为 $r$ 的球面,电场通量应正比于电荷:

将 $E=F/q_2$ 代入上式,立即得到库仑力形式,从而 $k=1/(4\pi\varepsilon_0)\approx 8.99\times10^9$,取 $9.0\times10^9$。

推论与应用

• 与万有引力 $F=G\dfrac{m_1m_2}{r^2}$ 形式类比:同为平方反比,但静电力与电荷量乘积成正比,万有引力与质量乘积成正比。
• 适用条件:真空、静止的点电荷(带电体线度远小于距离 $r$)。
• 库仑力是矢量,同种电荷相斥、异种电荷相吸,遵循力的合成法则。
• 多个点电荷存在时,某电荷受合力等于各电荷单独作用力的矢量和。

物理量说明

推导过程

电场强度是描述电场本身性质的物理量,用试探电荷 $q$ 受力与电荷量之比定义,与试探电荷无关:

将库仑力 $F=k\dfrac{Qq}{r^2}$ 代入定义式,得到点电荷电场的决定式:

注意 $E=\dfrac{F}{q}$ 是定义式(适用于任何电场),而 $E=k\dfrac{Q}{r^2}$ 是点电荷电场的决定式(仅此情形成立)。多个场源叠加时:

推论与应用

• 定义式与决定式的区别:前者普适,后者仅由点电荷场源决定。
• 场强叠加原理:合场强等于各场源单独产生的场强的矢量和。
• 点电荷电场方向:正电荷场强沿径向向外,负电荷向内。
• 由 $E$ 可求任意电荷受力 $F=qE$,正负号决定力的方向。
• 匀强电场中场强处处相等,电场线为平行等距直线。

物理量说明

推导过程

电场线切线方向表示该点场强方向,疏密表示场强大小。对匀强电场,场强处处相等,故电场线为平行等距直线:

对正点电荷,电场线由电荷向外辐射,结合平方反比,场强大小随距离递减:

等量同种电荷连线中点场强为零(两场强反向等大),中垂线上远处场强减弱;等量异种电荷连线中点场强最强,中垂线近似为匀强区。

推论与应用

• 电场线性质:起于正电荷(或无穷远)、止于负电荷(或无穷远),不闭合、不相交。
• 电场线越密处场强越大,越疏处场强越小。
• 匀强电场典型分布:平行板电容器内部的电场。
• 点电荷电场线呈球对称辐射状。
• 等量同/异种电荷的电场线分布是高考与竞赛常见图像分析对象。

物理量说明

推导过程

由点电荷电场的球对称性,取半径为 $r$ 的同心球面,面元通量 $d\Phi_E=E\,dS$,整体积分:

应用一 均匀带电球面:球内($r $$ E\cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0} \quad\Rightarrow\quad E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2} $$

应用二 无限长均匀带电直线(线密度 $\lambda$):取同轴柱面高斯面,仅侧面有通量:

应用三 无限大均匀带电平面(面密度 $\sigma$):取柱形高斯面贯穿平面,两侧通量相等:

推论与应用

• 高斯定理表明静电场是有源场,电场线起于正电荷、止于负电荷。
• 均匀带电球体内部场强 $E=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Qr}{R^3}$(随 $r$ 线性)。
• 无限长直线场强与距离成反比,与 $\lambda$ 成正比。
• 无限大平面场强与距离无关,是匀强电场的理想模型。
• 高斯定理在求解具有高对称性的电荷分布时尤为高效。

物理量说明

推导过程

静电力是保守力,可引入电势能。电荷 $q$ 在电场中某点的电势能与电荷量之比定义为该点电势:

将试探电荷 $q$ 从无穷远(取零势)移到距场源 $Q$ 为 $r$ 处,外力克服电场力做功:

于是点电荷电势为:

推论与应用

• 电势是标量,但可正可负(由场源电荷正负决定)。
• 电势叠加原理:多个场源的电势代数相加 $\varphi=\sum k\dfrac{Q_i}{r_i}$。
• 电势能 $E_p=q\varphi$,正电荷在高电势处电势能大。
• 电场力做功 $W_{AB}=q(\varphi_A-\varphi_B)=- \Delta E_p$。
• 零电势点通常取无穷远处或大地。

物理量说明

推导过程

电势差等于单位正电荷从 A 到 B 电场力所做的功:

在匀强电场中,电场力 $F=qE$ 为恒力,沿场强方向移动距离 $d$ 做功:

代入电势差定义并约去 $q$:

于是匀强电场场强大小也可写为 $E=U/d$,即电势沿电场线方向均匀降落。

推论与应用

• 等势面与电场线处处垂直,且沿电场线方向电势降低最快。
• 匀强电场中 $E=U/d$,常用于平行板电容器内部。
• 电场力做功与路径无关,只取决于初末位置的电势差。
• 等势面上移动电荷,电场力不做功。
• 密等势面区域场强大,疏区域场强小。

物理量说明

推导过程

电容定义为极板带电量与电压之比:

对平行板电容器,板间为匀强电场,由 $U=Ed$ 与 $E=4\pi k\sigma=4\pi k\dfrac{Q}{S}$ 得:

插入电介质后有效场强减小为 $E=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_r\cdot 4\pi k}$,于是:

充电储能由电压从 $0$ 增至 $U$ 的过程积分(瞬时电压 $u=q/C$):

电场能量密度(代入 $C=\varepsilon S/d$、$U=Ed$):

推论与应用

• 平行板电容随面积增大、间距减小、介电常数增大而增大。
• 电容储能 $W=\frac{1}{2}CU^2=\frac{1}{2}Q^2/C$,与电压平方成正比。
• 电场能量密度 $w=\frac{1}{2}\varepsilon E^2$ 普适于任意静电场。
• 电容器串联总电容减小,并联总电容增大。

物理量说明

推导过程

电流强度定义为单位时间通过导体横截面的电荷量:

考虑长为 $L$、截面积为 $S$ 的柱体,载流子数密度为 $n$、电荷量为 $q$、漂移速度为 $v$。在时间 $t$ 内,柱体中全部载流子 $N=nSv t$ 均通过该截面,总电荷:

代入电流定义:

推论与应用

• 漂移速度 $v=I/(nqS)$,金属中仅约 $10^{-4}\,\mathrm{m/s}$ 量级,远小于电场传播速度。
• 铜导线中自由电子数密度 $n\approx 8.5\times10^{28}\,\mathrm{m^{-3}}$。
• 电流方向与正电荷定向移动方向相同,与电子漂移方向相反。
• 对电解液 $q$ 取离子电荷,对半导体需同时计电子与空穴贡献。

物理量说明

推导过程

部分电路欧姆定律由实验得出,导体中电流与两端电压成正比、与电阻成反比:

电阻定律反映导体本身性质:电阻与长度 $L$ 成正比、与横截面积 $S$ 成反比,比例系数为电阻率 $\rho$:

电阻率随温度变化(金属近似线性):

推论与应用

• 金属电阻率随温度升高而增大;半导体、电解液电阻率随温度升高而减小。
• 热敏电阻利用半导体电阻率对温度敏感的特性制作。
• 超导态下 $\rho=0$,电阻为零。
• 材料一定时,电阻 $R$ 与几何尺寸有关,是导体属性而非电压电流决定。

物理量说明

推导过程

电荷 $q=It$ 通过电压 $U$ 的用电器,电场力做功即电功:

电功率为单位时间电功:

在纯电阻电路中,电能全部转化为内能,由欧姆定律 $U=IR$ 代入:

同理可得 $Q=\dfrac{U^2}{R}t$。非纯电阻(如电动机)中 $W=UIt$ 仍成立,但 $Q=I^2Rt$ 只是其中发热部分。

推论与应用

• 纯电阻电路:$P=UI=I^2R=\dfrac{U^2}{R}$ 三式等价。
• 非纯电阻电路:只能用 $P=UI$ 求总功率,$P=I^2R$ 仅算热功率。
• 焦耳定律 $Q=I^2Rt$ 对所有电路的热效应都成立。
• 电动机输出机械功率 $P_{\text{机}}=UI-I^2R$。

物理量说明

推导过程

闭合电路中,非静电力在 $t$ 内搬运电荷做功 $EIt$,全部转化为内外电路焦耳热:

两边同除以 $It$,得到闭合电路欧姆定律:

路端电压等于外电路分压,亦可用电动势减去内压降:

电源输出功率 $P_{\text{出}}=UI=I^2R=\dfrac{E^2R}{(R+r)^2}$,令 $dP/dR=0$ 得 $R=r$ 时最大:

推论与应用

• 外电阻 $R$ 增大,电流 $I$ 减小,路端电压 $U=E-Ir$ 增大。
• 短路时 $R=0$,$I=E/r$ 极大,易烧毁电源。
• 当 $R=r$ 时电源输出功率最大,但效率 $\eta=50\%$。
• 电源效率 $\eta=\dfrac{R}{R+r}$,随外电阻增大而提高。

物理量说明

推导过程

电流定律(KCL):稳恒电流下节点电荷不累积,流入等于流出:

电压定律(KVL):沿任一闭合回路绕行一周,电势升等于电势降:

惠斯通电桥平衡条件:当检流计无电流(桥路等势),有 $U_{AC}=U_{AD}$、$U_{CB}=U_{DB}$。设干路电流在 C、D 处分成两支:

两式相除消去电流,得平衡条件:

推论与应用

• KCL 本质是电荷守恒,KVL 本质是能量守恒。
• 复杂电路可列节点与回路方程联立求解各支路电流。
• 电桥平衡时检流计支路可断开而不影响测量。
• 非平衡电桥用于电阻式传感器测量。

物理量说明

推导过程

类比电场强度的定义,用垂直于磁场放置的通电导线所受安培力与 $IL$ 之比定义磁感应强度:

该式要求电流方向与磁场方向垂直;若成角度 $\theta$,则有效长度为 $L\sin\theta$,即 $F=BIL\sin\theta$(见 4.14)。磁感线切线方向为 $B$ 的方向,疏密表大小。

推论与应用

• 磁感应强度是磁场本身性质的量度,与试探电流元无关。
• 匀强磁场中 $B$ 处处相同,磁感线为平行等距直线。
• $1\,\mathrm{T}=1\,\mathrm{N/(A\cdot m)}$,常用单位还有高斯(G),$1\,\mathrm{T}=10^4\,\mathrm{G}$。
• 地磁场约 $0.5\times10^{-4}\,\mathrm{T}$,强永磁体可达 $1\,\mathrm{T}$ 以上。

物理量说明

推导过程

当电流方向与磁场垂直时 $F=BIL$。一般情形下,只有垂直于磁场的电流分量 $I L_\perp = IL\sin\theta$ 受力:

方向由左手定则判定:伸开左手,磁感线穿入手心,四指指向电流方向,拇指所指即安培力方向。两平行载流导线间,一导线在另一处产生磁场 $B=\mu_0 I/(2\pi r)$,所受安培力:

同向电流相吸、反向相斥,安培即据此定义电流单位。

推论与应用

• $\theta=0$ 时导线与磁场平行,安培力为零;$\theta=90^\circ$ 时力最大。
• 左手定则用于判断安培力方向,始终垂直于 $I$ 与 $B$ 所决定的平面。
• 两平行导线相互作用是电流单位“安培”的定义基础。
• 电动机工作原理即利用安培力使线圈转动。

物理量说明

推导过程

将长度为 $L$ 的导线中载流子数记为 $N$,每个电荷受磁力 $f$,则整段导线安培力 $F=Nf$。导线内电荷数 $N=nSL$,总电流 $I=nqSv$,代入安培力:

故单个运动电荷受力:

方向由左手定则(正电荷)或反向(负电荷)判定。由于 $\vec f\perp\vec v$,洛伦兹力永不做功,只改变速度方向。

推论与应用

• 洛伦兹力始终垂直于速度,不改变速率,故不做功。
• 速度平行磁场($\theta=0$)时不受力,做匀速直线运动。
• 电荷正负决定受力方向:正电荷沿 $\vec v\times\vec B$ 方向,负电荷相反。
• 是带电粒子在磁场中做圆周运动与质谱分析的受力基础。

物理量说明

推导过程

当速度垂直磁场时,洛伦兹力提供向心力:

解得轨道半径:

周期由轨道周长除以速率:

可见 $T$ 与速度 $v$ 无关。速度选择器中正交的电场力 $qE$ 与洛伦兹力 $qvB$ 平衡时粒子直线通过:

推论与应用

• 半径与动量成正比、与磁感应强度成反比,用于质谱仪分离同位素。
• 周期与速度无关,是回旋加速器能持续加速的物理依据。
• 速度选择器只允许速率为 $E/B$ 的粒子直线通过。
• 回旋加速器最大动能受 $r_m=mv/(qB)$ 与 $D$ 形盒半径限制。
• 偏转角 $\theta = \omega t = \dfrac{qB}{m}t$,可用于磁聚焦。

物理量说明

推导过程

导电薄片中电流沿长度方向,磁场垂直薄片。载流子受洛伦兹力偏向一侧,积聚电荷形成横向电场 $E_H$,达平衡时电场力与洛伦兹力相等:

横向霍尔电压 $U_H = E_H d = vBd$。由微观电流 $I = nqSv = nq(v\cdot bd)$($b$ 为宽度),得漂移速度:

代入 $U_H=vBd$ 并消去 $b$:

若将厚度记为 $d$(沿磁场方向),宽度为 $b$,则 $U_H=\dfrac{BI}{nqd}$。$U_H$ 的正负由载流子正负决定。

推论与应用

• 霍尔电压正负可判断载流子类型(电子为负、空穴为正)。
• 半导体霍尔效应显著,广泛用于磁场传感器与电流检测。
• 由 $U_H$ 可测磁感应强度 $B$ 或载流子数密度 $n$。
• 集成霍尔元件是汽车、电机测速与位置检测的核心器件。

物理量说明

推导过程

毕奥-萨伐尔定律:电流元 $I\,d\vec l$ 在距 $r$ 处产生的磁场元:

安培环路定理:磁场沿闭合回路的环流等于真空磁导率乘以所包围的传导电流代数和:

长直导线:取半径为 $r$ 的同心圆为安培回路,$B$ 沿切向且大小恒定:

无限长螺线管(单位长度匝数 $n$):取矩形回路,仅管内一段贡献:

推论与应用

• 安培环路定理说明磁场是无源有旋场(非保守场)。
• 长直导线磁场与距离成反比,与电流成正比。
• 密绕长螺线管内部近似匀强,外部近似为零。
• 环形螺线管内部 $B=\mu_0 nI$ 同样成立。

物理量说明

推导过程

磁通量定义为磁感应强度在面积法向上的投影与面积之积:

法拉第由实验得出:回路中感应电动势大小与磁通量变化率成正比,匝数为 $n$ 时:

磁通变化有两类途径:一是磁感应强度 $B$ 随时间变化(变压器原理);二是回路面积或相对取向变化(发电机、动生电动势)。感应电流方向由楞次定律判定:总是阻碍磁通的变化。

推论与应用

• 磁通量变化率决定感应电动势大小,而非磁通量本身大小。
• 楞次定律是能量守恒在电磁感应中的体现。
• $B$ 变化型:用于变压器、互感器。
• $S$ 或 $\theta$ 变化型:用于发电机、电磁流量计。

物理量说明

推导过程

视角一(磁通变化):长为 $L$ 的棒以速度 $v$ 垂直切割磁感线,在 $\Delta t$ 内扫过面积 $\Delta S=Lv\Delta t$,磁通变化:

视角二(洛伦兹力):棒内自由电荷受洛伦兹力 $f=qvB$ 沿棒定向移动,等效非静电力场强 $E_{\text{非}}=vB$,沿全长积分得电动势:

转动棒:距转轴 $l$ 处线速度 $v(l)=\omega l$,电动势微元 $dE=Bv(l)dl=B\omega l\,dl$,积分:

推论与应用

• 动生电动势方向由右手定则(或楞次定律)判定。
• 平动切割要求 $v$、$B$、棒长三者两两垂直,否则取有效分量。
• 转动棒电动势正比于角速度与棒长平方。
• 导体棒作为电源时,内阻计入总电阻求电流。

物理量说明

推导过程

线圈自身电流变化引起磁通变化,产生阻碍电流变化的自感电动势:

通电过程中电流由 $0$ 增至 $I$,电源克服自感电动势做功即储存的磁场能。取瞬时电压 $u=L\dfrac{di}{dt}$,储能:

对长直螺线管 $B=\mu_0 nI$、$L=\mu_0 n^2V$,代入能量式并用 $B$ 表出体积能量密度:

推论与应用

• 断电时自感电动势阻碍电流减小,产生电火花或自感高压。
• 磁场能量密度 $w_m=\dfrac{B^2}{2\mu_0}$ 普适于任意磁场。
• 电感对交流电呈阻碍(感抗),对直流相当于短路。
• 日光灯镇流器、电磁炮均利用自感与磁场储能。

物理量说明

推导过程

面积为 $S$ 的 $n$ 匝线圈在匀强磁场中以角速度 $\omega$ 转动,磁通 $\Phi=nBS\cos\omega t$,由法拉第定律:

有效值由热效应等效定义:交流电在一个周期内通过电阻 $R$ 的发热等于某直流 $I$ 的发热。取四分之一周期积分:

故 $I^2\cdot\dfrac{T}{2}=I_m^2\cdot\dfrac{T}{4}$,得:

推论与应用

• 交流电压表、电流表显示的是有效值。
• 感抗 $X_L=\omega L$、容抗 $X_C=1/(\omega C)$ 随频率变化。
• 最大值用于绝缘与耐压设计(峰值 $=\sqrt2$ 倍有效值)。
• 交流电瞬时功率含二倍频振荡项。

物理量说明

推导过程

理想变压器中,交变磁通全部穿过每匝线圈,各匝感应电动势相同,匝数与电压成正比:

忽略损耗时输入功率等于输出功率 $U_1I_1=U_2I_2$,故:

远距离输电中,输送功率 $P=UI$ 一定,输电线损耗:

可见提高输送电压 $U$ 可大幅降低电流与线损,故采用高压输电。

推论与应用

• 升压变压器减小电流以降低线损,降压变压器供用户安全使用。
• 匝数比决定电压比,电流比与之成反比。
• 线损与输送电压平方成反比,高压输电经济高效。
• 实际变压器存在铜损与铁损,效率略低于 100%。

物理量说明

推导过程

麦克斯韦在安培环路定理中引入位移电流 $I_d=\varepsilon_0\dfrac{d\Phi_E}{dt}$,使定律对非稳恒情形也成立:

变化的电场激发磁场,变化的磁场激发电场,二者相互耦合形成电磁波。在真空中对波动方程求波速:

代入 $\varepsilon_0\approx8.85\times10^{-12}$、$\mu_0=4\pi\times10^{-7}$,得 $c\approx3.0\times10^8\,\mathrm{m/s}$,正是光速,表明光是电磁波。

推论与应用

• 位移电流概念统一了稳恒与非稳恒电路的安培定律。
• 电磁波是横波,电场与磁场相互垂直且均垂直于传播方向。
• 真空中电磁波速等于光速,光属于电磁波谱。
• 电磁波不需介质即可传播,广泛用于通信、雷达与遥感。
• 能流密度由坡印廷矢量 $\vec S=\vec E\times\vec H$ 描述。