相对论

物理量说明

推导过程

经典物理学假定时间与空间彼此独立、与参考系无关(绝对时空观)。设惯性系 $S'$ 相对 $S$ 以速度 $v$ 沿 $x$ 轴正方向匀速运动,两系原点在 $t=0$ 时重合:

• 空间坐标变换:同一事件在 $S$ 中位于 $x$,在 $S'$ 中位于 $x'$,由于 $S'$ 自身前进了 $vt$,故 $$ x' = x - vt $$
• 时间绝对性:经典认为时钟在所有参考系同步,故 $t' = t$。
• 速度合成:对位置变换两端关于时间求导(注意 $t'=t$): $$ \begin{aligned} u' &= \frac{dx'}{dt'} = \frac{d(x-vt)}{dt} \\ &= \frac{dx}{dt} - v = u - v \end{aligned} $$ 即 $u' = u - v$。

思想实验与矛盾:麦克斯韦电磁理论给出真空中光速恒为 $c$,与光源运动无关。若对光信号套用速度合成,则 $S'$ 系中测得光速应为 $c' = c - v$,光速随参考系改变——这与电磁理论冲突。19 世纪人们设想存在“以太”作为绝对静止参考系,并认为光速仅在以太系为 $c$。

迈克尔逊-莫雷实验:该实验利用干涉仪比较光沿地球运动方向与垂直方向的光程差,预期因地球“穿行以太”而观测到随季节变化的条纹移动。实验结果为零(未检测到任何以太风),强烈否定了绝对静止参考系的存在,成为相对论诞生的重要实验基础。

推论与应用

• 伽利略相对性原理:力学定律在所有惯性系中形式相同。
• 经典速度合成 $u' = u - v$ 适用于 $v\ll c$ 的宏观低速情形。
• 经典时空观下“同时”“时间间隔”“空间长度”都是绝对的,与参考系无关。
• 电磁规律不满足伽利略变换,暴露经典框架在高速下的根本矛盾。
• 迈克尔逊-莫雷的零结果预示:光速必须对所有惯性系相同,需新变换取代伽利略变换。

物理量说明

推导过程

为化解电磁理论与伽利略变换的矛盾,爱因斯坦于 1905 年提出两条公理性假设,作为整个狭义相对论的逻辑起点:

• 假设一(狭义相对性原理):不仅力学,所有物理定律(含电磁学、光学)在一切惯性参考系中具有完全相同的形式。不存在特殊的“绝对静止系”。
• 假设二(光速不变原理):真空中的光速 $c$ 对所有惯性系中的观察者都相同,与光源或观察者的运动状态无关。

对经典时空观的冲击分析:在经典框架中,若 $S$ 测得光速为 $c$,则沿光传播方向以速度 $v$ 运动的 $S'$ 应测得 $c-v$;光速不变原理直接否定了这一结论。要使“速度合成”与“光速不变”相容,必须放弃“时间绝对”与“长度绝对”。

由假设二可推出:无论在 $S$ 还是 $S'$ 中测量,沿任意方向传播的光信号都满足 $x = \pm ct$ 与 $x' = \pm ct'$。这一等量关系将成为推导洛伦兹变换的约束条件。

推论与应用

• 同时性不再是绝对的,而依赖于观察者的参考系(见 7.3)。
• 时间间隔与空间长度均随参考系改变(时间膨胀、长度收缩)。
• 伽利略变换被洛伦兹变换取代,但低速下仍近似成立。
• 任何信号(含因果影响)的传递速度不得超过 $c$,$c$ 是自然界的速度上限。
• 两条假设可统一导出全部狭义相对论运动学结论,具有极简而自洽的逻辑力量。

物理量说明

推导过程

爱因斯坦火车思想实验:一列火车以速度 $v$ 向右匀速通过地面。地面观察者认定:车头(A)与车尾(B)两处同时遭到闪电劈中(在地面系 $t_A=t_B$),且火车中点 M 恰好位于两闪电连线的中点。

火车上的观察者位于 M,随车以 $v$ 向右运动。从 M 看,来自车头 A 的光需“追上”向右运动的 M,而来自车尾 B 的光则是“迎面而来”。由于光从 A、B 到 M 的几何距离本相等,但 M 向 A 方向运动,故来自 B 的光先到达 M。

火车系中,光到达 M 的先后即对应两闪电事件的先后。既然 M 先收到 B 的光,火车观察者便判定:车尾 B 的闪电先于车头 A 发生。于是“地面系同时的事件,在火车系并不同时”。

代数刻画(由后续洛伦兹变换可得):设火车系 $S'$ 中两事件同时发生 $t'_A=t'_B$,且位于不同地点 $x'_A\neq x'_B$。由时间变换 $$ \begin{aligned} t &= \gamma\left(t' + \frac{v x'}{c^2}\right) \\ \Delta t &= t_A - t_B = \gamma\,\frac{v(x'_A - x'_B)}{c^2} \end{aligned} $$ 因 $x'_A\neq x'_B$,故 $\Delta t\neq 0$:在一个惯性系中不同地点同时发生的事件,在另一惯性系中并不同时。

推论与应用

• “同时”是相对概念,依赖于观察者所在的惯性系。
• 同一对事件,有的参考系视为同时,有的参考系判定有先后。
• 只有同地($x'_A=x'_B$)同时的事件,在一切惯性系才都同时。
• 同时的相对性是时间膨胀与长度收缩的深层根源。
• 该结论排除了“宇宙统一时钟”的经典直觉,重塑了时空观。

物理量说明

推导过程

光钟思想实验:光钟由上下两镜面组成,光在镜间往返一次计为一“滴答”。设镜间距为 $L$,在光钟自身静止的系(本征系)中,光竖直上行再下行,往返路程为 $2L$,故固有时 $$ \Delta t_0 = \frac{2L}{c} $$

在相对光钟以速度 $v$ 横向运动的观察者看来,光钟在移动,光走的是斜线。取半个周期,光从下镜到上镜在时间 $\Delta t/2$ 内:竖直方向走过 $L$,水平方向随钟移动了 $v\,\Delta t/2$。由勾股定理:

于是 $\Delta t = \frac{2L}{c\sqrt{1-v^2/c^2}}$。代入 $\Delta t_0 = 2L/c$ 得 $$ \Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = \gamma\,\Delta t_0 $$

固有时:同一空间点连续发生两事件所测得的时间间隔最短,称为固有时 $\Delta t_0$;运动观测者测得的时间更长,称为时间膨胀(动钟变慢)。

双生子佯谬简介:一人留在地球(近似惯性系),另一人乘接近光速飞船往返。按时间膨胀,旅行者经历更短固有时,返回后比留守者更年轻。佯谬源于往返需加速变向,二者并非对称惯性系,结论自洽。

μ 子寿命实验:宇宙线产生的 μ 子静止寿命约 $2.2\ \mu\text{s}$,若按经典计算根本无法穿越大气层;但因其高速运动,地面系观测到的时间膨胀使其寿命大幅延长,得以到达地表,实验直接验证了该效应。

推论与应用

• 运动的时钟变慢:$\Delta t \ge \Delta t_0$,等号仅当 $v=0$。
• 高速粒子寿命在实验室系被显著拉长,便于观测与加速。
• 全球定位系统(GPS)必须修正卫星相对地面的时间膨胀(及引力效应)。
• 时间膨胀是相对的:彼此运动的观察者都认为自己系中的钟“正常”、对方钟变慢。
• μ 子到达地面、粒子加速器中的衰变率均提供坚实实验证据。

物理量说明

推导过程

由洛伦兹变换推导:设一根刚性杆静止于 $S'$ 系,沿 $x'$ 方向,其两端坐标为 $x'_1$、$x'_2$,固有长度 $L_0 = x'_2 - x'_1$。在 $S$ 系中测量该杆长度,必须同时记录两端坐标,即取 $t_1 = t_2 = t$。

洛伦兹逆变换给出 $x' = \gamma(x - vt)$,应用到两端: $$ \begin{aligned} x'_2 - x'_1 &= \gamma\bigl[(x_2 - vt) - (x_1 - vt)\bigr] \\ &= \gamma\,(x_2 - x_1) \end{aligned} $$ 而 $L = x_2 - x_1$ 为 $S$ 系测得长度,故 $$ L_0 = \gamma L \quad\Longrightarrow\quad L = \frac{L_0}{\gamma} $$

由时间膨胀角度理解:设杆以速度 $v$ 经过 $S$ 系中一固定点,经过耗时 $\Delta t$;在杆自身系中,该点以速度 $v$ 掠过杆,耗时固有时 $\Delta t_0$。由时间膨胀 $\Delta t = \gamma \Delta t_0$,而 $L = v\,\Delta t$,$L_0 = v\,\Delta t_0$,相减即得 $L = L_0/\gamma$。

方向限制:收缩只发生在相对运动方向上;垂直于运动方向的长度(如 $y$、$z$ 方向)保持不变。

推论与应用

• 运动物体沿运动方向缩短,$L \le L_0$,等号仅当 $v=0$。
• 长度收缩与时间膨胀相互自洽:两效应共同保证光速不变。
• 仅沿运动方向收缩,横向尺寸不受影响。
• 与“同时的相对性”直接相关——两端“同时测量”在不同系含义不同。
• 宏观低速下 $L\approx L_0$,日常完全无法察觉。

物理量说明

推导过程

基于两条基本假设,要求变换为线性(保证匀速运动映射为匀速运动),并满足空间、时间均匀性。设一般线性形式: $$ x' = a(x - vt),\qquad t' = b t + e x $$

利用光速不变定系数:在 $S$ 系中沿 $+x$ 传播的光满足 $x = ct$。按光速不变,在 $S'$ 系中也应有 $x' = ct'$。代入: $$ \begin{aligned} a(ct - vt) &= c\,(b t + e\,ct) \\ a(c - v)t &= c(b + e c)t \end{aligned} $$ 对任意 $t$ 成立,故 $a(c-v) = c(b+ec)\quad (1)$。

对沿 $-x$ 传播的光 $x = -ct$,同理 $x' = -ct'$,得 $$ a(-c - v) = -c(b - e c)\quad (2) $$

由对称性,$S$ 看 $S'$ 以 $+v$ 运动,则 $S'$ 看 $S$ 以 $-v$ 运动,变换应互为相反数,可推出 $e = -a v/c^2$,$b = a$。将 $b=a,\ e=-a v/c^2$ 代入(1): $$ \begin{aligned} a(c-v) &= c\left(a - a\frac{v}{c}\right) = a(c - v) \end{aligned} $$ 恒成立,仅确定比例。再用“原点重合”归一:取 $x'=0$ 时对应 $x=vt$,代入 $0=a(x-vt)$ 自动满足。令 $a=\gamma$,并借助间隔不变性或低速极限定出 $$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} $$

低速退化验证:当 $v\ll c$ 时 $\gamma\to 1$,且 $\frac{vx}{c^2}\to 0$,于是 $$ x' \to x - vt,\qquad t' \to t $$ 恰好回到伽利略变换,与日常经验一致。

推论与应用

• 洛伦兹变换是狭义相对论运动学的核心,取代伽利略变换。
• 由它可统一导出同时的相对性、时间膨胀与长度收缩。
• 间隔不变性 $c^2t^2 - x^2 = c^2t'^2 - x'^2$ 是其等价表述。
• 低速极限自然退化为经典伽利略变换,理论相容。
• 时间项含 $vx/c^2$,说明时空坐标相互耦合,不可分离。

物理量说明

推导过程

对洛伦兹变换 $x'=\gamma(x-vt)$、$t'=\gamma(t-vx/c^2)$ 取微分($\gamma$、$v$ 为常量): $$ \begin{aligned} dx' &= \gamma(dx - v\,dt) \\ dt' &= \gamma\left(dt - \frac{v}{c^2}dx\right) \end{aligned} $$

由速度定义 $u' = dx'/dt'$,两式相除: $$ \begin{aligned} u' &= \frac{\gamma(dx - v\,dt)}{\gamma\left(dt - \dfrac{v}{c^2}dx\right)} = \frac{dx - v\,dt}{dt - \dfrac{v}{c^2}dx} \\[4pt] &= \frac{\dfrac{dx}{dt} - v}{1 - \dfrac{v}{c^2}\dfrac{dx}{dt}} = \frac{u - v}{1 - \dfrac{uv}{c^2}} \end{aligned} $$

光速不变验证:令 $u = c$,则 $$ u' = \frac{c - v}{1 - \dfrac{cv}{c^2}} = \frac{c-v}{1-v/c} = \frac{c-v}{(c-v)/c} = c $$ 光速在 $S'$ 中仍为 $c$,与假设二完全一致。

低速近似:当 $u,v\ll c$ 时,分母中的 $uv/c^2\ll 1$,展开: $$ u' \approx (u-v)\left(1 + \frac{uv}{c^2}\right) \approx u - v $$ 即回到经典速度合成。

推论与应用

• 任何物体相对任何惯性系的速度都不会超过 $c$。
• 两股 $0.8c$ 相向运动的粒子,相对速度并非 $1.6c$ 而是约 $0.976c$。
• 光速不变是速度变换的直接推论,不需另设。
• 低速下退化为伽利略速度合成,与宏观经验吻合。
• 该公式为高能物理中粒子速度叠加计算的基础工具。

物理量说明

推导过程

经典动量为何失效:经典动量 $\vec p = m\vec v$ 配合动量守恒,在伽利略变换下形式不变。但相对论要求动量守恒在所有惯性系经洛伦兹变换后依然成立。若仍用 $\vec p=m\vec v$,对一个两粒子弹性碰撞(一系中总动量为零,另一系中不为零且变换后不守恒),会发现守恒律被破坏。

修正思路:保留“动量守恒在所有惯性系成立”这一基本要求,寻找一个随速度变化的量,使碰撞在任一系都守恒。定义动量正比于速度,但比例系数随速率增大: $$ \vec p = m(v)\,\vec v $$

通过考察一维完全非弹性碰撞(两相同粒子以 $\pm u$ 对撞合成静止粒子),在质心系总动量为零;变换到另一惯性系,要求合成体动量仍等于各部分动量之和,可解得 $$ m(v) = \frac{m_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \gamma m_0 $$ 其中 $m_0$ 为 $v=0$ 时的静止质量。于是 $$ \vec p = \gamma m_0 \vec v $$

质速关系:相对论质量随速率增大, $$ m = \gamma m_0 = \frac{m_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} $$ 当 $v\to c$ 时 $m\to\infty$,需无限大能量才能把有质量粒子加速到光速,故光速是极限。

推论与应用

• 低速时 $\gamma\approx 1$,$\vec p\approx m_0\vec v$,回到经典动量。
• 速度越高,同等推力产生的加速度越小,加速越困难。
• 有静质量的粒子永不能达到光速(所需能量发散)。
• 动量守恒与洛伦兹协变性共同决定了动量的相对论形式。
• 该动量是后续导出质能方程与能量-动量关系的出发点。

物理量说明

推导过程

由动能定理,力对粒子做功等于动能增量。用相对论动量 $\vec p=\gamma m_0\vec v$,力 $\vec F = d\vec p/dt$,元功 $$ dE_k = \vec F\cdot d\vec r = \frac{d\vec p}{dt}\cdot \vec v\,dt = \vec v\cdot d\vec p $$

因 $\vec v$ 与 $d\vec p$ 同向(加速沿速度方向),取标量并利用 $v^2=\vec v\cdot\vec v$: $$ \begin{aligned} dE_k &= v\,dp = v\,d(\gamma m_0 v) \\ &= m_0\,v\,d\!\left(\frac{v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right) \end{aligned} $$

计算微分(令 $\beta=v/c$): $$ \begin{aligned} d\!\left(\frac{v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right) &= \frac{dv}{\sqrt{1-v^2/c^2}} + v\cdot\frac{v/c^2}{(1-v^2/c^2)^{3/2}}\,dv \\ &= \frac{1 - v^2/c^2 + v^2/c^2}{(1-v^2/c^2)^{3/2}}\,dv = \frac{dv}{(1-v^2/c^2)^{3/2}} \end{aligned} $$

故 $$ dE_k = m_0 v\,\frac{dv}{(1-v^2/c^2)^{3/2}} $$

注意到 $d(1-v^2/c^2) = -2v\,dv/c^2$,即 $v\,dv = -\frac{c^2}{2}d(1-v^2/c^2)$。代入并令 $w=1-v^2/c^2$: $$ \begin{aligned} dE_k &= m_0\left(-\frac{c^2}{2}\right) w^{-3/2} dw = -m_0 c^2\cdot \frac{1}{2} w^{-3/2} dw \\ E_k &= -m_0 c^2\cdot \frac{w^{-1/2}}{-1}\Big|_{w_0}^{w} = m_0 c^2\left(\frac{1}{\sqrt{w}} - 1\right) \\ &= m_0 c^2(\gamma - 1) = (\gamma - 1)m_0 c^2 \end{aligned} $$

总能量为动能加静止能量:$E = E_k + E_0 = \gamma m_0 c^2 = mc^2$,其中 $E_0 = m_0 c^2$ 为静止能量。

低速验证:当 $v\ll c$,$\gamma = (1-v^2/c^2)^{-1/2}\approx 1 + \frac{1}{2}v^2/c^2$,故 $$ E_k \approx \left(1+\frac{v^2}{2c^2}-1\right)m_0 c^2 = \frac{1}{2}m_0 v^2 $$ 与经典动能一致。反之时速趋近 $c$,$E_k\to\infty$。

推论与应用

• 质量即能量:$E=mc^2$,质量与能量等价可相互转化。
• 静止能量 $E_0=m_0c^2$ 表明即使静止物体也蕴含巨大能量。
• 核反应(裂变、聚变)中质量亏损 $\Delta m$ 释放能量 $\Delta E=\Delta m\,c^2$。
• 原子弹、核电站、恒星发光均基于此质能转换。
• 低速近似回到 $\frac12 m_0v^2$,理论在宏观下与经典一致。

物理量说明

推导过程

由总能量与动量定义: $$ E = \gamma m_0 c^2,\qquad p = \gamma m_0 v $$

分别平方: $$ \begin{aligned} E^2 &= \gamma^2 m_0^2 c^4 \\ p^2 c^2 &= \gamma^2 m_0^2 v^2 c^2 \end{aligned} $$

相减消去 $\gamma$、$v$: $$ \begin{aligned} E^2 - p^2 c^2 &= \gamma^2 m_0^2 c^4 - \gamma^2 m_0^2 v^2 c^2 \\ &= \gamma^2 m_0^2 c^4\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right) \\ &= \gamma^2 m_0^2 c^4 \cdot \frac{1}{\gamma^2} = m_0^2 c^4 \end{aligned} $$ 即 $$ E^2 = (pc)^2 + (m_0 c^2)^2 $$

光子特例:光子静质量 $m_0=0$,代入得 $$ E^2 = (pc)^2 \quad\Rightarrow\quad E = pc $$ 又由量子论 $E = h\nu$,联立得光子动量 $$ p = \frac{E}{c} = \frac{h\nu}{c} $$ 与康普顿散射、光压等实验一致。

推论与应用

• 对有质量粒子,总能量 $E=\sqrt{(pc)^2+(m_0c^2)^2}$。
• 静止时 $p=0$,退化为 $E=E_0=m_0c^2$。
• 无质量粒子(光子、引力波)必有 $E=pc$ 且 $v=c$。
• 光子动量 $p=h\nu/c$ 是光压与辐射压的理论基础。
• 在高能物理中用于由测得的能量、动量反推粒子质量。

物理量说明

推导过程

等效原理(思想实验):设想一个远离引力、以加速度 $a$ 向上加速的电梯。电梯内观察者释放一物体,物体因电梯加速而上相对地“下落”,现象与地球表面重力场完全一致。爱因斯坦据此提出等效原理:均匀引力场中的局部物理效应,与等效加速度参考系中的惯性效应不可区分。

由等效原理可推出若干惊人结论:

• 光线偏折:加速电梯中,水平射入的光因电梯向上加速而显得向下弯曲;等效地,引力场也会使光线弯曲。太阳边缘星光被偏折约 $1.75''$,1919 年日食观测证实了这一点。
• 时空弯曲:质量与能量告诉时空如何弯曲,弯曲的时空告诉物质如何运动。引力不再是“力”,而是时空几何的展现(爱因斯坦场方程 $G_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$)。

引力时间膨胀与引力红移:在强引力处(引力势更低)时钟更慢。由等效原理与前面时间膨胀可估算频移。设两处引力势差为 $\Delta\varphi$,弱场近似下频率相对变化 $$ \frac{\Delta \nu}{\nu} \approx \frac{\Delta \varphi}{c^2} $$ 从深引力势(如恒星表面)发出的光,到达高处时频率降低、波长变长,即引力红移。

水星近日点进动:牛顿引力预言行星轨道为闭合椭圆;但水星近日点每世纪有约 $43''$ 的额外进动,长期无法用经典理论解释。广义相对论计入时空弯曲后,精确给出了这一进动值。

引力波:加速的大质量天体(如双星、黑洞并合)会扰动时空,以光速向外辐射时空涟漪——引力波。2015 年 LIGO 首次直接探测到双黑洞并合产生的引力波,验证了该预言。

推论与应用

• 引力等价于时空弯曲,自由落体是沿弯曲时空的测地线运动。
• 光线在引力场中偏折,已被日食观测与引力透镜现象证实。
• 引力红移在地面与太空中均已高精度测得,是 GPS 修正项之一。
• 水星近日点反常进动由广义相对论完美解释。
• 引力波的直接探测开启了“多信使天文学”的新时代。