力学

物理量说明

推导过程

加速度恒定,即 $a = \dfrac{dv}{dt} = \text{常数}$。用微积分直接积分:

再由 $v = \dfrac{dx}{dt}$ 积分得到位移:

消去 $t$:由 $t = \dfrac{v-v_0}{a}$ 代入位移式,并整理:

初等方法亦可由速度-时间图像中梯形的面积(面积等于位移)得到同样结果。

推论与应用

• 平均速度公式:$\bar v = \dfrac{v_0 + v}{2}$,前提是加速度恒定。
• 由上述第二式,位移另一形式:$x = \bar v\, t = \dfrac{v_0+v}{2}\,t$。
• 纸带公式(逐差法):在相邻相等时间间隔 $T$ 内,位移差 $\Delta x = aT^2$。
• 推广:第 $n$ 个 $T$ 内的位移 $x_n = v_0 T + \dfrac{aT^2}{2}(2n-1)$。
• 初速为零时:$x \propto t^2$,且连续相等时间内位移比 $1:3:5:\cdots:(2n-1)$。

物理量说明

推导过程

自由落体是匀变速直线运动的特例,取竖直向下为正,令 $a = g$、$v_0 = 0$,代入 2.1 三式直接得到:

竖直上抛取向上为正,则加速度 $a = -g$,由 $v = v_0 + at$ 得:

到达最高点时 $v = 0$,故上升时间 $t_{\text{上}} = \dfrac{v_0}{g}$。代入位移式求最大高度:

推论与应用

• 运动对称性:上升与下落经过同一高度时速率相等、所用时间相等。
• 从最高点自由下落到原高度即回到抛出点,总飞行时间 $T = 2t_{\text{上}} = \dfrac{2v_0}{g}$。
• 多段问题可分段(上升段、下降段)或整体用位移公式(注意 $h$ 可正可负)。
• 自由落体连续相等时间下落位移比 $1:3:5:\cdots$。

物理量说明

推导过程

将初速度分解为水平分量 $v_{0x} = v_0\cos\theta$ 与竖直分量 $v_{0y} = v_0\sin\theta$。水平方向匀速、竖直方向匀变速:

由水平式解出 $t = \dfrac{x}{v_0\cos\theta}$,代入竖直式得到轨迹方程:

落地时 $y = 0$(除 $x=0$ 外),解得射程:

射高由竖直上抛分运动得 $H = \dfrac{(v_0\sin\theta)^2}{2g}$。

推论与应用

• 射程极值:$\sin 2\theta \le 1$,故当 $\theta = 45^\circ$ 时射程最大,$R_{\max} = \dfrac{v_0^2}{g}$。
• 同一射程对应互补角 $\theta$ 与 $90^\circ-\theta$(射高不同)。
• 飞行总时间 $T = \dfrac{2v_0\sin\theta}{g}$。
• 任意时刻速度大小 $v = \sqrt{(v_0\cos\theta)^2 + (v_0\sin\theta - gt)^2}$。

物理量说明

推导过程

牛顿第一定律(惯性定律)是实验与思想归纳的结果,而非纯数学推导。其逻辑基础在于:

第一步:观察现象——地面上的物体若不受推力会停下,看似"力是维持运动的原因"。

第二步:伽利略斜面实验思想。让小球从斜面一侧释放,若另一侧越来越平缓,小球会滚得越来越远;推想若另一侧完全水平光滑,小球将永远匀速运动下去。

第三步:笛卡尔补充"除非受力,否则沿直线"的方向性;牛顿将其总结为第一定律。

第四步:其逆否等价表述为合外力为零时速度保持不变,是后续平衡条件与参考系定义的起点。

推论与应用

• 定义了惯性参考系:第一定律成立的参考系称为惯性系(如地面近似)。
• 惯性是物体保持原有运动状态的属性,质量是其量度。
• 平衡条件:静止或匀速直线运动的物体所受合外力必为零。
• 为牛顿第二定律提供基准——力是改变运动状态(产生加速度)的原因。

物理量说明

推导过程

由实验归纳:对固定质量物体,加速度与合外力成正比、与质量成反比,即 $a \propto F/m$,取比例系数为 1 得:

其更普遍(大学 · 普物)的动量形式可由动量定义导出。设质量恒定 $\vec{p}=m\vec{v}$:

由 $F = ma$ 同样得到:

当合外力为零时:

推论与应用

• 瞬时性:力与加速度同时产生、同时变化、同时消失。
• 矢量性:应建立坐标系按分量写 $F_x=ma_x,\;F_y=ma_y$。
• 平衡条件:合外力为零时加速度为零,物体静止或匀速。
• 动量形式在质量变化问题(如火箭)中更普适。

物理量说明

推导过程

牛顿第三定律源于大量相互作用实验的归纳,表述为:两物体间的作用力与反作用力总是大小相等、方向相反、作用在同一直线上。

第一步:设物体 1 对 2 施力 $\vec{F}_{12}$,物体 2 对 1 施力 $\vec{F}_{21}$。

第二步:实验测量表明二者大小恒等、方向相反,即:

第三步:两力分别作用在不同物体上,因此不能相互抵消,这与"一对平衡力"有本质区别。

第四步:该定律在惯性系中普遍成立,是动量守恒的微观根源(见 2.19)。

推论与应用

• 作用力与反作用力同时产生、同时消失、性质相同(同为引力、弹力或摩擦力)。
• 一对平衡力作用在同一物体上,可抵消;作用力反作用力作用在不同物体上,不可抵消。
• 应用:火箭推进、划船、走路均依赖反作用力。
• 结合牛二可推出系统动量守恒(见 2.19 推导)。

物理量说明

推导过程

在弹性限度内,实验表明弹簧弹力与形变量成正比,即 $F = kx$,其中 $k$ 由材料与结构决定。

串联推导:两弹簧串联,受力同为 $F$,各自伸长 $x_1 = F/k_1$、$x_2 = F/k_2$。总伸长:

等效劲度 $k = F/x$,故 $\dfrac{1}{k} = \dfrac{1}{k_1} + \dfrac{1}{k_2}$。

并联推导:两弹簧并联,形变量同为 $x$,各自受力 $F_1 = k_1 x$、$F_2 = k_2 x$。总力:

故等效 $k = k_1 + k_2$。

推论与应用

• 弹性势能 $E_p = \frac{1}{2}kx^2$(推导见 2.16)。
• n 个相同弹簧串联总劲度 $k/n$ 减小;并联总劲度增大。
• 弹簧振子周期 $T = 2\pi\sqrt{m/k}$(见 2.21)。
• 适用范围:仅限弹性限度内,超出则 $F$ 与 $x$ 不再线性。

物理量说明

推导过程

滑动摩擦力由实验归纳:当两个接触面相对滑动时,摩擦力大小与正压力成正比:

静摩擦力没有固定公式,其大小由平衡或牛二方程决定,范围受最大静摩擦限制:

推导思路:设物体在水平力 $F$ 作用下静止,由平衡条件 $\sum F_x=0$ 得:

当 $F$ 增大至超过 $\mu_s N$,物体开始滑动,摩擦力降为滑动值 $\mu N(\mu < \mu_s)$。

推论与应用

• 摩擦力方向总与相对运动(或相对运动趋势)方向相反,可与运动方向相同(如传送带加速)。
• 传动问题:皮带不打滑条件依赖静摩擦提供牵引力。
• 最大静摩擦略大于滑动摩擦,常用 $\mu_s > \mu$。
• 滚动摩擦远小于滑动摩擦,故用轮子减少能耗。

物理量说明

推导过程

力的合成满足平行四边形定则。以两分力为邻边作平行四边形,对角线即合力。

取 $F_1$ 方向为 $x$ 轴,则 $F_2$ 在 $x,y$ 方向分量分别为 $F_2\cos\theta$、$F_2\sin\theta$。合力分量:

由勾股定理(余弦定理的向量形式):

开方得 $F = \sqrt{F_1^2+F_2^2+2F_1F_2\cos\theta}$。

推论与应用

• 正交分解:将力沿互相垂直方向分解,分别求和后再合成,适合多力问题。
• 两力同向 $\theta=0$ 合力最大 $F=F_1+F_2$;反向 $\theta=180^\circ$ 最小 $|F_1-F_2|$。
• $\theta=90^\circ$ 时 $F=\sqrt{F_1^2+F_2^2}$。
• 多力平衡可转化为两个互相垂直方向分量均平衡。

物理量说明

推导过程

设质点做半径为 $r$ 的匀速圆周运动,周期 $T$ 转过 $2\pi$ 弧度,故角速度:

线速度为弧长与时间的比,一圈弧长 $2\pi r$:

向心加速度推导(微元几何法):经极短时间 $\Delta t$,速度矢量由 $\vec{v}_1$ 变为 $\vec{v}_2$,大小均为 $v$,转过角 $\Delta\theta = \omega\Delta t$。速度变化量 $\Delta\vec{v}$ 近似构成等腰三角形,其大小:

由加速度定义 $a = \dfrac{|\Delta\vec{v}|}{\Delta t}$ 取极限:

推论与应用

• 周期与频率:$T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{1}{f}$。
• 向心加速度方向始终指向圆心,只改变速度方向不改大小。
• 转速 $n$(转/秒)与角速度:$\omega = 2\pi n$。
• 非匀速圆周运动中还有切向加速度 $a_t = \dfrac{dv}{dt}$。

物理量说明

推导过程

由牛顿第二定律,合外力等于质量乘加速度。圆周运动的加速度即向心加速度 $a_n = v^2/r$,故:

圆锥摆应用:摆球受重力 $mg$ 与绳张力 $T$,其合力提供向心力。设摆线与竖直夹角 $\theta$、绳长 $L$:

两式相除并代入 $v = \omega r = \dfrac{2\pi r}{T_0}$($T_0$ 为周期):

汽车过桥:凸桥顶点由重力与支持力合力提供向心,$mg - N = m v^2/r$;凹桥最低点 $N - mg = m v^2/r$。

推论与应用

• 凸桥顶 $N = mg - mv^2/r$,速度越大支持力越小,临界 $v=\sqrt{gr}$ 时失重飞离。
• 凹桥底 $N = mg + mv^2/r$,超重。
• 圆锥摆周期 $T_0 = 2\pi\sqrt{L\cos\theta/g}$,与质量无关。
• 离心现象:提供的向心力不足时物体做离心运动。

物理量说明

推导过程

牛顿由开普勒定律与月地检验归纳出:任意两质点间引力与质量乘积成正比、与距离平方成反比:

黄金代换:在地球表面,重力近似等于万有引力($M$ 为地球质量、$R$ 为地球半径):

第一宇宙速度:近地匀速圆周运动,万有引力提供向心力:

推论与应用

• 黄金代换 $GM=gR^2$ 可消去未知的地球质量 $M$。
• 重力加速度随高度:$g(h)=\dfrac{GM}{(R+h)^2}=g\left(\dfrac{R}{R+h}\right)^2$。
• 第一宇宙速度是最小发射速度、最大环绕速度。
• 第二宇宙速度 $v_2=\sqrt{2gR}\approx 11.2$ km/s。

物理量说明

推导过程

开普勒由第谷观测数据归纳出第三定律:行星轨道半长轴立方与周期平方之比恒定。

由万有引力提供向心力对圆轨道推导(设轨道半径 $r$):

右端只含中心天体质量 $M$,故对同一中心天体 $r^3/T^2$ 为常量,即开普勒第三定律。椭圆情形以半长轴 $a$ 替代 $r$:

同步卫星:周期 $T=24$ h,由上式确定轨道半径 $r_s$ 固定,且位于赤道平面。

推论与应用

• 同一中心天体下 $\dfrac{a^3}{T^2}$ 相同,可比较不同行星轨道。
• 同步卫星轨道半径 $r_s = \sqrt[3]{\dfrac{GMT^2}{4\pi^2}} \approx 4.2\times10^4$ km。
• 变轨问题:在切点加速则轨道半径变大(做离心运动),减速则变小。
• 双星星绕质心转动时各自周期相同,可由 $a^3/T^2$ 推广。

物理量说明

推导过程

功的定义:力在位移方向上的分量与位移大小的乘积。将力分解为沿位移与垂直位移两方向:

功率是单位时间内做的功:平均功率 $P = \dfrac{W}{t}$。

若物体以速度 $v$ 运动且力恒定,位移 $s = vt$,代入:

当 $\theta = 0$(力与速度同向)时 $P = Fv$,此即机车牵引功率式。

推论与应用

• 正负功判断:$\theta < 90^\circ$ 做正功,$\theta = 90^\circ$ 不做功,$\theta > 90^\circ$ 做负功。
• 合外力功等于各力功的代数和。
• 机车恒功率启动:$P = Fv$,速度增大则牵引力减小,加速度减小。
• 变力做功需用积分 $W = \int \vec{F}\cdot d\vec{s}$(见 2.15、2.16)。

物理量说明

推导过程

设物体受恒合外力 $F$,沿直线位移 $s$,由牛二 $F = ma$ 与匀变速公式 $v^2 - v_0^2 = 2as$:

大学表述:由 $\vec{F} = m\dfrac{d\vec{v}}{dt}$ 点乘位移微元 $d\vec{s} = \vec{v}\,dt$:

积分即得 $W_{\text{合}} = \Delta E_k$,对曲线运动与变力同样成立。

推论与应用

• 合外力做正功动能增加,负功则减少。
• 变力做功可由动能变化反求,无需知道力随位置细节。
• 多过程问题:分段或全程列动能定理,尤其适合含摩擦力、电场力的综合题。
• 与动量定理(2.18)配合可解碰撞前后状态。

物理量说明

推导过程

重力势能:物体从高度 $h$ 落到零势能面,重力做功 $W = mgh$,定义势能减少量等于重力做功,故:

弹性势能(大学 · 普物积分法):弹簧弹力 $F(x)=kx$ 是变力,由功能关系,弹力做功等于势能增量的负值。从原长拉到伸长 $x$ 弹力做负功:

故弹性势能(以原长为零势能点):

亦可由 $F$-$x$ 图像(直线下三角形面积)直接得面积 $=\frac{1}{2}\cdot x\cdot kx = \frac{1}{2}kx^2$。

推论与应用

• 重力势能大小与零势能面选取有关,势能差与选取无关。
• 弹性势能与形变量平方成正比,压缩与伸长同值同能。
• 系统势能变化等于保守力做功的负值:$W_{\text{保}} = -\Delta E_p$。
• 二者共同参与机械能守恒(见 2.17)。

物理量说明

推导过程

对物体,由动能定理合外力功等于动能增量:

将合外力功分为保守力功 $W_{\text{保}}$ 与非保守力功 $W_{\text{非}}$:

由势能定义 $W_{\text{保}} = -\Delta E_p$,代入:

若无非保守力做功(或只有保守内力做功),即 $W_{\text{非}} = 0$,则:

推论与应用

• 守恒条件:只有重力或弹力等保守力做功,其他力不做功或做功代数和为零。
• 单个物体与地球系统:仅重力作用时 $E_k + mgh = \text{常量}$。
• 含弹簧系统:动能、重力势能、弹性势能总和守恒。
• 常用于抛体、摆动、连接体等无需分析过程的快捷求解。

物理量说明

推导过程

由牛顿第二定律的动量形式,对恒力:

从 $t_0$ 到 $t$ 积分:

对变力,冲量定义为 $\vec{I} = \int \vec{F}\,dt$,结论仍成立(动量定理普适)。

推论与应用

• 缓冲问题:动量变化一定时,作用时间越长,平均受力越小($F = \Delta p / t$)。
• 矢量性:应建立坐标系按分量写 $I_x = \Delta p_x$ 等。
• 曲线运动中动量定理可分别用于切向、法向分量。
• 与动能定理互补:前者管矢量动量,后者管标量动能。

物理量说明

推导过程

对两物体组成的系统,设相互作用力为 $\vec{F}_{12}$ 与 $\vec{F}_{21}$。由牛顿第三定律:

对每个物体分别用动量定理(作用时间同为 $\Delta t$):

两式相加,利用 $\vec{F}_{12}+\vec{F}_{21}=0$:

若系统所受合外力为零(或远小于内力、作用时间极短),总动量守恒。

推论与应用

• 守恒条件:系统合外力为零;或某方向合外力为零则该方向分量守恒。
• 爆炸、反冲(火箭、发射炮弹)均满足近似守恒。
• 碰撞分类:弹性(动能守恒)、非弹性、完全非弹性(共速)。
• 与能量守恒联立可确定碰撞后速度(见 2.20)。

物理量说明

推导过程

一维弹性碰撞同时满足动量守恒与动能守恒:

将(1)移项并因式分解(由(2)改写):

第二式除以第一式(约去 $m_1,m_2$)得恢复系数关系:

与(1)联立解二元一次组,得:

推论与应用

• 等质量 $m_1=m_2$ 时:$v_1'=v_2,\; v_2'=v_1$,即交换速度。
• 质量极大静止靶 $m_2\gg m_1,\;v_2=0$:小球以原速率反弹 $v_1'\approx -v_1$(撞墙极限)。
• 质量极小 $m_1\ll m_2,\;v_2=0$:小球几乎不动,大球原速前进 $v_2'\approx v_1$。
• 相对速度反向:碰后分离速度等于碰前接近速度。

物理量说明

推导过程

弹簧振子受力为回复力 $F = -kx$。由牛二 $F = m\ddot{x}$ 得微分方程:

令 $\omega^2 = \dfrac{k}{m}$,方程化为 $\ddot{x} + \omega^2 x = 0$,其通解为:

角频率与周期:

能量(大学 · 普物):动能与势能之和守恒:

推论与应用

• 振幅 $A$ 与初相 $\varphi$ 由初始条件 $x(0),v(0)$ 决定。
• 速度 $v = -A\omega\sin(\omega t+\varphi)$,加速度 $a = -\omega^2 x$。
• 振子总能量 $\frac{1}{2}kA^2$ 与振幅平方成正比,与质量无关。
• 单摆小角近似下亦为简谐振动(见 2.22)。

物理量说明

推导过程

摆球受重力 $mg$ 与绳张力 $T_0$。沿切向(垂直绳方向)的分力提供回复力:

小角度近似下 $\sin\theta \approx \theta \approx \dfrac{x}{L}$(弧长 $x = L\theta$),于是:

这与 $F = -kx$ 形式一致,等效劲度 $k_{\text{eff}} = \dfrac{mg}{L}$。代入简谐振动周期式 $T = 2\pi\sqrt{m/k}$:

推论与应用

• 周期与摆球质量、振幅(小角范围)无关,仅由 $L$ 与 $g$ 决定。
• 测重力加速度:$g = \dfrac{4\pi^2 L}{T^2}$。
• 等效摆长:复合摆或双线摆可等效为单摆处理。
• 大角度时需修正,周期随振幅增大而略增。

物理量说明

推导过程

波在一个周期 $T$ 内向前传播一个波长 $\lambda$ 的距离,由速度定义:

又频率 $f = 1/T$,故:

波速由介质性质决定(如绳波 $v=\sqrt{T_0/\mu}$、声波依弹性模量),与频率无关;波长随频率变化以适应 $v$ 不变。

横波:质点振动方向垂直传播方向(如绳波);纵波:振动方向与传播方向平行(如声波)。

推论与应用

• 同一介质中不同频率的波波速相同,频率越高波长越短。
• 波的双向性:给定某时刻波形,传播方向未明时可能有两解。
• 多解问题:相隔时间 $\Delta t$ 与周期关系不明,常需加 $nT$ 通解。
• 干涉条件:两波频率相同、相位差恒定、振动方向一致。

物理量说明

推导过程

刚体可视为质点系。对定轴 $z$,第 $i$ 个质元受切向力 $F_i$,到轴距离 $r_i$,切向加速度 $a_i = r_i\alpha$。由牛二:

该力对轴的力矩 $M_i = F_i r_i = m_i r_i^2 \alpha$。对全部质元求和,内力矩成对抵消:

定义转动惯量 $I = \sum_i m_i r_i^2$,即得转动定律:

连续体 $I = \int r^2 dm$。常见结果:细杆绕中心 $I = \frac{1}{12}mL^2$,均匀圆盘 $I = \frac{1}{2}mR^2$。

平行轴定理:绕与质心轴平行、相距 $d$ 的轴 $I = I_C + md^2$。

推论与应用

• 细杆绕端点 $I = \frac{1}{3}mL^2 = \frac{1}{12}mL^2 + m(L/2)^2$(平行轴定理验证)。
• 圆环绕中心轴 $I = mR^2$。
• 转动惯量取决于质量分布与转轴位置,是转动惯性的量度。
• 平行轴定理用于质心轴未知或需换轴时快速计算。

物理量说明

推导过程

质点对点的角动量 $\vec{L} = \vec{r}\times\vec{p}$。对绕定轴转动的刚体,角动量大小:

由转动定律 $M = I\alpha$ 且 $\alpha = \dfrac{d\omega}{dt}$:

若系统所受合外力矩为零,则:

即角动量守恒。定性例子:花样滑冰收臂减小 $I$,由 $L=I\omega$ 不变得 $\omega$ 增大;陀螺高速旋转时重力矩使其进动而非倒下。

推论与应用

• 角动量守恒是空间旋转对称性的体现(诺特定理)。
• 人收臂转速增大、行星近日点加速均满足守恒。
• 与动量守恒、能量守恒并称三大守恒定律。
• 进动角速度 $\Omega = \dfrac{Mg d}{I\omega}$(陀螺近似)。

物理量说明

推导过程

绕定轴转动的刚体,各质元速度 $v_i = r_i\omega$。总动能为质点系动能之和:

一般平面运动(如纯滚动)可分解为质心平动加绕质心转动,由柯尼希定理:

纯滚动条件 $v_C = R\omega$,代入可统一表达。

推论与应用

• 转动动能与平动动能形式类比:$I \leftrightarrow m$、$\omega \leftrightarrow v$。
• 圆柱体纯滚动动能 $E_k = \frac{1}{2}mv_C^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(v_C/R)^2 = \frac{3}{4}mv_C^2$。
• 机械能守恒在含转动时:$E_k+E_p = \frac{1}{2}I\omega^2 + E_p = \text{常量}$。
• 功能关系:力矩功 $W = \int M\,d\theta = \Delta(\frac{1}{2}I\omega^2)$。

物理量说明

推导过程

连续性方程:对不可压缩定常流,单位时间流过任一截面的质量守恒。体积流量 $Q = Av$ 不变:

伯努利方程:取流管中一段流体,由功能关系,外力功与重力功等于动能增量。设两端截面压强 $p_1,p_2$、高度 $h_1,h_2$、流速 $v_1,v_2$,经短时间迁移后中间段不变,仅两端段变化:

除以体积 $V$ 并整理,沿同一流线:

推论与应用

• 水平管($h$ 不变):流速大处压强小,飞机升力源于机翼上下流速差。
• 文丘里管:缩颈处流速增大、压强降低,可测流量。
• 小孔流速(托里拆利):$v = \sqrt{2gh}$。
• 喷雾器、射流泵均利用压强差原理。