6.1 黑体辐射与普朗克能量子假设
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| 符号 | 含义 | 单位 |
|---|---|---|
| $E$ | 带电谐振子的能量 | 焦耳(J) |
| $n$ | 正整数,取值只能为离散的整数 | 无量纲 |
| $h$ | 普朗克常量,约为 $6.63\times10^{-34}$ | 焦耳·秒(J·s) |
| $\nu$ | 辐射频率 | 赫兹(Hz) |
推导过程
经典物理用连续能量描述谐振子,在高频(紫外)区域会给出与实验严重背离的结果:
1. 经典瑞利-金斯公式按能量均分定理给出单位体积、单位频率的辐射能量密度
$$ \begin{aligned} u(\nu,T) &= \frac{8\pi \nu^{2}}{c^{3}}\, k_{\!B} T \end{aligned} $$2. 该式中 $u\propto \nu^{2}$,当 $\nu\to\infty$ 时能量密度发散,导致总能量无限大,史称「紫外灾难」。
3. 实验曲线表明高频处能量密度迅速下降而非发散,说明经典连续能量假设失效。
4. 普朗克采用内插法:低频段保持瑞利-金斯形式,高频段借用维恩公式的指数衰减,拼合得到
$$ \begin{aligned} u(\nu,T) &= \frac{8\pi h \nu^{3}}{c^{3}}\,\frac{1}{e^{h\nu/k_{\!B}T}-1} \end{aligned} $$5. 要使该式成立,谐振子能量必须只能按 $h\nu$ 的整数倍跳跃,即必须假设能量是量子化的:
$$ \begin{aligned} E &= n h \nu \qquad (n=1,2,3,\dots) \end{aligned} $$6. 当 $\nu\to 0$ 时 $e^{h\nu/k_{\!B}T}-1\approx h\nu/k_{\!B}T$,上式自动回到瑞利-金斯公式,内插自洽。
推论与应用
- 能量量子化:能量不是连续的,只能取 $0,h\nu,2h\nu,\dots$ 等分立值。
- 普朗克常量 $h=6.63\times10^{-34}\ \mathrm{J\cdot s}$ 是划分经典与量子世界的基本尺度。
- 普朗克公式与黑体辐射实验曲线在整个频谱上精确吻合,成为量子论诞生的标志。
- 该假设为光电效应、原子结构等问题提供了全新的能量离散化思路。
6.2 光电效应与爱因斯坦方程
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| 符号 | 含义 | 单位 |
|---|---|---|
| $E_k$ | 光电子最大初动能 | 焦耳(J)或电子伏特(eV) |
| $h$ | 普朗克常量 | 焦耳·秒(J·s) |
| $\nu$ | 入射光频率 | 赫兹(Hz) |
| $W_0$ | 金属的逸出功 | 焦耳(J)/电子伏特(eV) |
| $U_c$ | 遏止电压 | 伏特(V) |
推导过程
1. 实验规律与经典波动说矛盾:存在截止频率 $\nu_0$,低于它无论光多强都无电子逸出;且响应瞬时(无需能量积累时间)。
2. 爱因斯坦将光视为能量为 $h\nu$ 的光子流,单个光子把全部能量交给一个电子。
3. 电子吸收光子能量后,一部分用于克服逸出功 $W_0$,剩余转化为最大初动能:
$$ \begin{aligned} h\nu &= W_0 + E_k \\ E_k &= h\nu - W_0 \end{aligned} $$4. 当 $E_k=0$ 时对应截止频率,故逸出功与极限频率满足
$$ \begin{aligned} W_0 &= h\nu_0 \end{aligned} $$5. 用遏止电压 $U_c$ 阻止光电流,电场做功等于最大初动能:
$$ \begin{aligned} eU_c &= E_k = h\nu - W_0 \end{aligned} $$6. 饱和光电流只与入射光子数(光强)成正比,解释了光强只改变电子数量而非初动能。
推论与应用
- 截止频率条件:$\nu > \nu_0$ 才能产生光电效应,与光强无关。
- 遏止电压关系:$U_c = \dfrac{h}{e}\nu - \dfrac{W_0}{e}$,作 $U_c$–$\nu$ 图为直线,斜率 $h/e$ 可测 $h$。
- 瞬时性:单个光子一次作用即交出能量,无需像波动说那样长时间积累。
- 应用:光电管、光电池、光电倍增管等光电器件。
6.3 康普顿效应
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| 符号 | 含义 | 单位 |
|---|---|---|
| $\Delta\lambda$ | 散射前后波长改变量 | 米(m) |
| $h$ | 普朗克常量 | 焦耳·秒(J·s) |
| $m_e$ | 电子静止质量 | 千克(kg) |
| $c$ | 真空中光速 | 米/秒(m/s) |
| $\theta$ | 光子散射角 | 弧度(rad) |
推导过程
1. 将 X 射线光子与静止电子的散射视为弹性碰撞,同时满足能量守恒与动量守恒。
2. 光子能量 $E=h\nu=hc/\lambda$,动量大小 $p=h/\lambda$,散射后与电子分享能量动量。
3. 能量守恒(电子静能 $m_ec^{2}$,散射后电子总能量含动能):
$$ \begin{aligned} \frac{hc}{\lambda_0} + m_e c^{2} &= \frac{hc}{\lambda} + \sqrt{(p_e c)^{2}+(m_e c^{2})^{2}} \end{aligned} $$4. 动量守恒矢量式($\theta$ 为光子散射角,$\phi$ 为电子反冲角):
$$ \begin{aligned} \frac{h}{\lambda_0} &= \frac{h}{\lambda}\cos\theta + p_e\cos\phi \\ 0 &= \frac{h}{\lambda}\sin\theta - p_e\sin\phi \end{aligned} $$5. 消去电子动量 $p_e$,利用 $\vec p_e^{\,2}=p_e^{\,2}$ 联立两式,可得波长改变:
$$ \begin{aligned} \Delta\lambda &= \lambda - \lambda_0 = \frac{h}{m_e c}(1-\cos\theta) \end{aligned} $$6. 令 $\lambda_c = \dfrac{h}{m_e c}$,称为电子的康普顿波长,数值为 $2.43\times10^{-3}\ \mathrm{nm}$。
推论与应用
- 康普顿波长:$\lambda_c = \dfrac{h}{m_e c} = 2.43\times10^{-3}\ \mathrm{nm}$。
- 散射线中除原波长 $\lambda_0$ 外出现更长波长 $\lambda$,且 $\Delta\lambda$ 与物质无关、只取决于 $\theta$。
- $\theta=90^\circ$ 时 $\Delta\lambda=\lambda_c$;$\theta=180^\circ$ 时 $\Delta\lambda=2\lambda_c$ 达最大。
- 该效应直接证实了光子具有动量,是光具有粒子性的决定性证据。
6.4 玻尔氢原子模型
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| 符号 | 含义 | 单位 |
|---|---|---|
| $m$ | 电子质量 | 千克(kg) |
| $v$ | 电子轨道速率 | 米/秒(m/s) |
| $r$ | 轨道半径 | 米(m) |
| $n$ | 主量子数,正整数 | 无量纲 |
| $\hbar$ | 约化普朗克常量 $h/2\pi$ | 焦耳·秒(J·s) |
| $r_1$ | 基态半径 $0.53\times10^{-10}$ m | 米(m) |
推导过程
1. 玻尔假设库仑力提供电子圆周运动向心力:
$$ \begin{aligned} \frac{k e^{2}}{r^{2}} &= \frac{m v^{2}}{r} \end{aligned} $$2. 由上式得动能与势能关系:
$$ \begin{aligned} m v^{2} &= \frac{k e^{2}}{r},\qquad E_k = \frac{1}{2}m v^{2} = \frac{k e^{2}}{2r} \end{aligned} $$3. 电子总能量为动能加势能(势能为 $-k e^{2}/r$):
$$ \begin{aligned} E &= E_k + U = \frac{k e^{2}}{2r} - \frac{k e^{2}}{r} = -\frac{k e^{2}}{2r} \end{aligned} $$4. 引入角动量量子化条件 $mvr = n\hbar$,解出 $v = n\hbar/(mr)$ 代回第 1 式:
$$ \begin{aligned} \frac{k e^{2}}{r^{2}} &= \frac{m}{r}\left(\frac{n\hbar}{mr}\right)^{2} = \frac{n^{2}\hbar^{2}}{m r^{3}} \end{aligned} $$5. 整理得允许轨道半径:
$$ \begin{aligned} r_n &= \frac{n^{2}\hbar^{2}}{m k e^{2}} = n^{2} r_1 \end{aligned} $$6. 代入 $E=-k e^{2}/(2r)$ 得能级:
$$ \begin{aligned} E_n &= -\frac{m k^{2} e^{4}}{2\hbar^{2}}\frac{1}{n^{2}} = -\frac{13.6}{n^{2}}\ \mathrm{eV} \end{aligned} $$7. 其中基态半径 $r_1 = \dfrac{\hbar^{2}}{m k e^{2}} = 0.53\times10^{-10}\ \mathrm{m}$。
推论与应用
- 轨道半径量子化:$r_n = n^{2} r_1$,$n=1$ 为最近、能量最低的基态。
- 能级量子化:基态 $E_1=-13.6\ \mathrm{eV}$,离核越远能量越高。
- $n\to\infty$ 时 $E\to 0$,对应电子电离(脱离原子核束缚)。
- 成功解释氢原子光谱的线状结构,是现代原子论的基石之一。
6.5 玻尔频率条件与里德伯公式
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| 符号 | 含义 | 单位 |
|---|---|---|
| $h$ | 普朗克常量 | 焦耳·秒(J·s) |
| $\nu$ | 辐射频率 | 赫兹(Hz) |
| $E_m,E_n$ | 上、下能级能量($m>n$) | 电子伏特(eV) |
| $\lambda$ | 辐射波长 | 米(m) |
| $R$ | 里德伯常量 | 米$^{-1}$(m$^{-1}$) |
推导过程
1. 玻尔频率条件:电子从高能级 $E_m$ 跃迁到低能级 $E_n$ 时放出光子,能量守恒给出
$$ \begin{aligned} h\nu &= E_m - E_n \qquad (m>n) \end{aligned} $$2. 由 6.4 能级公式 $E_k = -\dfrac{m k^{2} e^{4}}{2\hbar^{2}}\dfrac{1}{k^{2}}$,代入频率条件并除以 $hc$:
$$ \begin{aligned} \frac{1}{\lambda} = \frac{\nu}{c} &= \frac{1}{hc}\left(E_m-E_n\right) \\ &= \frac{m k^{2} e^{4}}{4\pi c\hbar^{3}}\left(\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{m^{2}}\right) \end{aligned} $$3. 定义里德伯常量 $R = \dfrac{m k^{2} e^{4}}{4\pi c\hbar^{3}}$,即得里德伯公式:
$$ \begin{aligned} \frac{1}{\lambda} &= R\left(\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{m^{2}}\right) \end{aligned} $$4. 取 $n=1$ 而 $m=2,3,4,\dots$,对应紫外区的莱曼系。
5. 取 $n=2$ 而 $m=3,4,5,\dots$,对应可见光区的巴耳末系。
6. 当 $n=1,m\to\infty$ 时对应电离,电离能即把基态电子移到无穷远所需能量。
推论与应用
- 莱曼系:$n=1$,全部在紫外区;巴耳末系:$n=2$,含可见光红线(H$\alpha$ 等)。
- 帕邢系($n=3$)、布拉开系($n=4$)落在红外区。
- 基态氢原子电离能 $E_{\mathrm{ion}} = |E_1| = 13.6\ \mathrm{eV}$。
- 里德伯公式统一解释了氢原子各谱系,理论与实验高度吻合。
6.6 德布罗意物质波
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| 符号 | 含义 | 单位 |
|---|---|---|
| $\lambda$ | 物质波波长(德布罗意波长) | 米(m) |
| $h$ | 普朗克常量 | 焦耳·秒(J·s) |
| $p$ | 粒子动量 | 千克·米/秒(kg·m/s) |
| $m$ | 粒子质量 | 千克(kg) |
| $v$ | 粒子速率 | 米/秒(m/s) |
推导过程
1. 对光子已有关系:能量 $E=h\nu$,且由相对论质能关系 $E=pc$,故光子动量
$$ \begin{aligned} p &= \frac{E}{c} = \frac{h\nu}{c} = \frac{h}{\lambda} \end{aligned} $$2. 德布罗意大胆推广:不仅光子,一切实物粒子也兼具波动性,其波长满足同一关系
$$ \begin{aligned} \lambda &= \frac{h}{p} = \frac{h}{mv} \end{aligned} $$3. 用此关系反推玻尔量子化:要求电子绕核形成稳定驻波,轨道周长应容纳整数个波长
$$ \begin{aligned} 2\pi r &= n\lambda = n\frac{h}{mv} \end{aligned} $$4. 整理得
$$ \begin{aligned} mvr &= n\frac{h}{2\pi} = n\hbar \end{aligned} $$5. 这正是 6.4 中的角动量量子化条件,说明玻尔假设可由物质波驻波条件自然得出。
6. 宏观物体因 $m$ 极大,$\lambda$ 小到无法观测;电子等微观粒子 $\lambda$ 与原子尺度相当,波动显著。
推论与应用
- 波粒二象性:一切物质既有粒子性又有波动性,统一于 $\lambda=h/p$。
- 驻波条件反推玻尔轨道量子化,揭示旧量子论背后的波动力学本质。
- 电子衍射实验(戴维森-革末实验)直接观测到电子的衍射图样,证实物质波。
- 应用:电子显微镜利用电子短波长实现远高于光学显微镜的分辨率。
6.7 不确定关系
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| 符号 | 含义 | 单位 |
|---|---|---|
| $\Delta x$ | 位置的不确定度 | 米(m) |
| $\Delta p$ | 动量的不确定度 | 千克·米/秒(kg·m/s) |
| $\hbar$ | 约化普朗克常量 | 焦耳·秒(J·s) |
推导过程
1. 考虑一束电子通过宽为 $a$ 的单缝,在屏上产生衍射。电子落点横向位置的不确定度约缝宽
$$ \begin{aligned} \Delta x &\sim a \end{aligned} $$2. 单缝衍射一级暗纹满足 $\sin\theta \approx \lambda/a$,电子经缝后动量方向弥散,横向动量不确定度
$$ \begin{aligned} \Delta p_x &\sim p\sin\theta \sim \frac{h}{\lambda}\cdot\frac{\lambda}{a} = \frac{h}{a} \end{aligned} $$3. 于是位置与横向动量的乘积约为
$$ \begin{aligned} \Delta x\,\Delta p_x &\sim a\cdot\frac{h}{a} = h \end{aligned} $$4. 严格量子力学傅里叶分析给出更精确的系数为 $\hbar/2$:
$$ \begin{aligned} \Delta x\,\Delta p_x &\geq \frac{\hbar}{2} \end{aligned} $$5. 同理,能量与时间也存在不确定关系 $\Delta E\,\Delta t \geq \hbar/2$。
6. 该关系源于波包本身的性质,并非测量仪器不够精密,是微观粒子的内禀属性。
推论与应用
- 经典「确定轨道」概念失效:无法同时精确给出粒子的位置与动量。
- 基态氢原子可由不确定关系估算:取 $\Delta x\sim r$、$\Delta p\sim\hbar/r$,总能量极小处给出 $r\sim a_0$。
- 能级自然宽度:激发态寿命 $\Delta t$ 越短,能级宽度 $\Delta E$ 越大。
- 微观世界本质上由概率描述,而非决定论的轨道运动。
6.8 波函数与统计诠释
大学物理量说明
| 符号 | 含义 | 单位 |
|---|---|---|
| $\psi$ | 波函数(一般为复函数) | 视归一化而定 |
| $\psi^{*}$ | $\psi$ 的复共轭 | 同 $\psi$ |
| $|\psi|^{2}$ | 概率密度 | 每单位体积的概率 |
| $dV$ | 空间体积元 | 米$^3$(m$^3$) |
推导过程
1. 波粒二象性要求用一个场量 $\psi(\vec r,t)$ 同时描述粒子的空间分布与波动行为。
2. 玻恩提出统计诠释:波函数模平方代表概率密度,即在体积元 $dV$ 内发现粒子的概率
$$ \begin{aligned} dP &= |\psi(\vec r,t)|^{2}\,dV = \psi^{*}\psi\,dV \end{aligned} $$3. 粒子在全空间出现的总概率必为 1,故要求归一化条件
$$ \begin{aligned} \int_{\text{全空间}} |\psi|^{2}\,dV &= 1 \end{aligned} $$4. 若未归一化,可引入常数 $A$ 使 $A^{2}\int |\psi|^{2}dV=1$,即 $A=1/\sqrt{\int|\psi|^{2}dV}$。
5. 波函数需满足标准条件:单值、有限、连续(及其一阶空间导数连续),方有物理意义。
6. 复相位虽不进入概率密度,却携带干涉信息,是量子叠加与相干性的根源。
推论与应用
- 概率密度非负:$|\psi|^{2}\geq 0$,可解释为「在某处找到粒子的可能性大小」。
- 归一化保证概率解释自洽,总概率守恒。
- 标准条件(单值、有限、连续)用于筛选有物理意义的波函数解。
- 为薛定谔方程的统计诠释奠定解释基础,统一了波动性与粒子性。
6.9 薛定谔方程
大学物理量说明
| 符号 | 含义 | 单位 |
|---|---|---|
| $\Psi,\psi$ | 含时/定态波函数 | 由归一化定 |
| $\hat H$ | 哈密顿算符(能量算符) | 焦耳(J) |
| $U$ | 势能函数 | 焦耳(J) |
| $E$ | 体系能量本征值 | 焦耳(J) |
| $\nabla^{2}$ | 拉普拉斯算符 | 米$^{-2}$(m$^{-2}$) |
推导过程
1. 自由粒子平面波写为复指数形式:
$$ \begin{aligned} \Psi(x,t) &= e^{i(px-Et)/\hbar} \end{aligned} $$2. 对时间求导,得到能量与波函数的关系:
$$ \begin{aligned} \frac{\partial\Psi}{\partial t} &= -\frac{iE}{\hbar}\Psi \quad\Rightarrow\quad E\Psi = i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t} \end{aligned} $$3. 对空间二次求导,得到动量与波函数关系:
$$ \begin{aligned} \frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}} &= -\frac{p^{2}}{\hbar^{2}}\Psi \quad\Rightarrow\quad p^{2}\Psi = -\hbar^{2}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}} \end{aligned} $$4. 由此读出算符对应:$E\to i\hbar\partial_t$、$p\to -i\hbar\nabla$。
5. 将经典能量关系 $E = p^{2}/2m + U$ 推广为算符作用于 $\Psi$:
$$ \begin{aligned} i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t} &= \left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}+U\right)\Psi = \hat H\Psi \end{aligned} $$6. 对定态(能量不随时间变)令 $\Psi=\psi(\vec r)e^{-iEt/\hbar}$,分离变量得到定态方程:
$$ \begin{aligned} -\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}\psi + U\psi &= E\psi \end{aligned} $$推论与应用
- 薛定谔方程是量子力学的基本方程,地位类比经典力学的牛顿第二定律。
- 算符化规则 $E\to i\hbar\partial_t$、$p\to -i\hbar\nabla$ 是建立量子方程的一般方法。
- 定态方程给出能量本征值 $E$ 与定态波函数 $\psi$,对应稳定的概率分布。
- 应用于原子、分子、固体能带等几乎所有微观体系的理论计算。
6.10 一维无限深势阱
大学物理量说明
| 符号 | 含义 | 单位 |
|---|---|---|
| $E_n$ | 第 $n$ 个能级能量 | 焦耳(J) |
| $n$ | 量子数 $1,2,3,\dots$ | 无量纲 |
| $m$ | 粒子质量 | 千克(kg) |
| $L$ | 势阱宽度 | 米(m) |
| $h,\hbar$ | 普朗克常量及其约化形式 | 焦耳·秒(J·s) |
推导过程
1. 设势阱内 $U=0$($0<x<L$),阱壁外 $U=\infty$,粒子只能在阱内运动。
2. 定态薛定谔方程化为
$$ \begin{aligned} -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} &= E\psi \end{aligned} $$3. 令 $k^{2}=2mE/\hbar^{2}$,通解为正弦与余弦的线性组合:
$$ \begin{aligned} \psi(x) &= A\sin kx + B\cos kx \end{aligned} $$4. 阱壁处波函数为零的边界条件 $\psi(0)=\psi(L)=0$:由 $\psi(0)=0$ 得 $B=0$。
5. 再由 $\psi(L)=A\sin kL=0$ 且 $A\neq0$,要求
$$ \begin{aligned} kL &= n\pi \quad\Rightarrow\quad k = \frac{n\pi}{L} \end{aligned} $$6. 代回 $E=\hbar^{2}k^{2}/(2m)$ 得到能级:
$$ \begin{aligned} E_n &= \frac{\hbar^{2}}{2m}\left(\frac{n\pi}{L}\right)^{2} = \frac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2mL^{2}} = \frac{n^{2}h^{2}}{8mL^{2}} \end{aligned} $$7. 归一化后波函数为 $\psi_n(x)=\sqrt{2/L}\sin(n\pi x/L)$,不同 $n$ 的波函数正交。
推论与应用
- 零点能:$n=1$ 时 $E_1=\dfrac{h^{2}}{8mL^{2}}>0$,基态能量不为零,体现不确定关系。
- 能级间隔随 $n^{2}$ 增大,势阱越窄($L$ 越小)能级越高、量子效应越显著。
- 波函数正交归一:$\int_0^{L}\psi_m^{*}\psi_n\,dx=\delta_{mn}$。
- 模型用于近似金属中自由电子、量子点中载流子的分立能级。
6.11 隧道效应
大学物理量说明
| 符号 | 含义 | 单位 |
|---|---|---|
| $\psi(x)$ | 势垒区内的波函数 | 由归一化定 |
| $\kappa$ | 势垒内衰减常数 | 米$^{-1}$(m$^{-1}$) |
| $m$ | 粒子质量 | 千克(kg) |
| $U_0$ | 势垒高度 | 焦耳(J) |
| $E$ | 入射粒子能量 | 焦耳(J) |
推导过程
1. 考虑一有限高势垒:在 $0<x<a$ 区域内 $U=U_0>E$,其余区域 $U=0$。
2. 在势垒区域内,定态薛定谔方程为
$$ \begin{aligned} -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} + U_0\psi &= E\psi \end{aligned} $$3. 整理为
$$ \begin{aligned} \frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} &= \frac{2m(U_0-E)}{\hbar^{2}}\psi \equiv \kappa^{2}\psi \end{aligned} $$4. 其物理解(指数衰减而非振荡)形式为
$$ \begin{aligned} \psi(x) &\sim e^{-\kappa x},\qquad \kappa = \frac{\sqrt{2m(U_0-E)}}{\hbar} \end{aligned} $$5. 波函数在势垒中不为零且穿透到另一侧,意味着粒子有非零概率出现在垒后。
6. 透射系数 $T$ 随势垒宽 $a$ 与 $\kappa$ 指数衰减,近似 $T\propto e^{-2\kappa a}$,并依赖 $E$。
推论与应用
- 粒子能量 $E<U_0$ 时仍可越过势垒,这是纯经典力学不允许的量子现象。
- 透射概率随势垒加宽、加高而急剧下降,但永远不为零。
- 扫描隧道显微镜(STM)利用针尖与样品间电子隧穿电流成像,分辨率达原子级。
- 解释 $\alpha$ 衰变:$\alpha$ 粒子隧穿核势垒而逸出,半衰期与势垒参数相关。
6.12 四个量子数与泡利不相容原理
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| 符号 | 含义 | 取值范围 |
|---|---|---|
| $n$ | 主量子数(壳层) | $1,2,3,\dots$ |
| $l$ | 角量子数(轨道形状) | $0,1,\dots,n-1$ |
| $m_l$ | 磁量子数(轨道取向) | $-l,\dots,0,\dots,l$ |
| $m_s$ | 自旋磁量子数 | $+1/2,-1/2$ |
推导过程
1. 解氢原子薛定谔方程时,角向部分要求量子化,自然给出三个量子数 $n,l,m_l$。
2. 主量子数 $n$ 决定能量尺度;对给定 $n$,角量子数可取 $l=0,1,\dots,n-1$ 共 $n$ 个值。
3. 对每个 $l$,磁量子数 $m_l$ 有 $2l+1$ 个取值,对应轨道空间取向。
4. 电子自旋是内禀自由度,自旋磁量子数 $m_s=\pm1/2$,与空间量子数相互独立。
5. 固定一个 $n$ 后,状态总数对 $l$ 求和:
$$ \begin{aligned} N_n &= 2\sum_{l=0}^{n-1}(2l+1) = 2\cdot n^{2} \end{aligned} $$6. 泡利不相容原理:同一原子中不可能有两个电子具有完全相同的四个量子数,故第 $n$ 壳层最多容纳 $2n^{2}$ 个电子。
7. 电子依能量由低到高填入各状态(结合洪特规则),形成元素周期表的壳层结构。
推论与应用
- 壳层容量:第 $n$ 壳层最多容纳 $2n^{2}$ 个电子($n=1$ 为 2,$n=2$ 为 8 等)。
- 泡利原理是原子稳定结构与元素周期律的微观根源。
- 电子排布决定元素化学性质,解释了周期表的周期与族。
- 自旋量子数也是核磁共振、铁磁性等现象的基础。
6.13 原子核与质量亏损结合能
高中选修 · 大学物理量说明
| 符号 | 含义 | 单位 |
|---|---|---|
| $\Delta E$ | 释放(或需输入)的能量 | 焦耳(J)/电子伏特(eV) |
| $\Delta m$ | 质量亏损(反应前后质量差) | 千克(kg) |
| $c$ | 真空中光速 | 米/秒(m/s) |
推导过程
1. 原子核由质子与中子(统称核子)组成,但核的总质量小于各自由核子质量之和。
2. 定义质量亏损为组成核的自由核子总质量与核质量之差:
$$ \begin{aligned} \Delta m &= Z m_p + (A-Z)m_n - m_{\text{核}} \end{aligned} $$3. 由狭义相对论质能方程,这部分质量对应结合能:
$$ \begin{aligned} \Delta E &= \Delta m\,c^{2} \end{aligned} $$4. 比结合能(平均每个核子的结合能)$=\Delta E/A$,反映核的稳定程度。
5. 比结合能曲线在中等质量数($A\approx 56$)处最高:轻核聚合、重核裂变都会向更高比结合能移动并释放能量。
6. 计算示例(氘核):$m_p+m_n-m_d \approx 0.00239\ \mathrm{u}$,结合能 $\Delta E\approx 2.23\ \mathrm{MeV}$。
推论与应用
- 质量亏损:自由核子结合成核时质量减少,差额转化为结合能释放。
- 比结合能曲线:解释核聚变(轻核)与核裂变(重核)均可释放原子能。
- 氘核结合能约 $2.23\ \mathrm{MeV}$,是恒星内部核反应的基本能量来源之一。
- 应用:核电站(裂变)、氢弹与受控聚变(聚变)的能量基础。
6.14 放射性衰变规律
高中 · 大学物理量说明
| 符号 | 含义 | 单位 |
|---|---|---|
| $N$ | $t$ 时刻尚未衰变的原子核数 | 个 |
| $N_0$ | 初始时刻原子核数 | 个 |
| $\lambda$ | 衰变常数 | 每秒(s$^{-1}$) |
| $T_{1/2}$ | 半衰期 | 秒(s) |
| $\tau$ | 平均寿命 | 秒(s) |
推导过程
1. 放射性衰变是随机过程,但对大量原子核,单位时间衰变概率恒定,即
$$ \begin{aligned} -\frac{dN}{dt} &= \lambda N \end{aligned} $$2. 分离变量并积分($t=0$ 时 $N=N_0$):
$$ \begin{aligned} \int_{N_0}^{N}\frac{dN}{N} &= -\lambda\int_{0}^{t} dt \\ \ln\frac{N}{N_0} &= -\lambda t \end{aligned} $$3. 取指数即得衰变规律:
$$ \begin{aligned} N &= N_0 e^{-\lambda t} \end{aligned} $$4. 半衰期是 $N=N_0/2$ 所需时间,代入得
$$ \begin{aligned} \frac{1}{2} &= e^{-\lambda T_{1/2}} \quad\Rightarrow\quad T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} \end{aligned} $$5. 平均寿命 $\tau$ 为各原子核寿命的统计平均,满足 $\tau = 1/\lambda$。
6. 若记质量 $m\propto N$,则有初高中常用形式 $m = m_0(1/2)^{t/T_{1/2}}$;放射活度 $A=\lambda N=A_0e^{-\lambda t}$。
推论与应用
- 指数衰减:$N=N_0e^{-\lambda t}$,半衰期 $T_{1/2}=\ln2/\lambda$ 与初始数量无关。
- 平均寿命 $\tau=1/\lambda$,与半衰期关系为 $T_{1/2}=\tau\ln2$。
- 质量形式:$m=m_0(1/2)^{t/T_{1/2}}$,便于初高中计算剩余质量。
- 放射性活度 $A=\lambda N$ 同样按指数衰减,用于放射性定年与核医学。