5.1 光的直线传播与光速
高中 · 必修物理量说明
| 符号 | 含义 | 单位 |
|---|---|---|
| $c$ | 真空中的光速 | 米每秒(m/s) |
| $v$ | 介质中的光速 | 米每秒(m/s) |
| $l$ | 光传播距离 | 米(m) |
| $t$ | 传播时间 | 秒(s) |
推导过程
在均匀介质中,光沿直线传播,其运动满足匀速关系:
$$ \begin{aligned} \text{匀速运动}:&\quad l = v\,t \\ \text{真空中}:&\quad l = c\,t \\ \text{光年定义}:&\quad 1\ \text{ly} = c\times(1\ \text{年}) \approx 9.46\times10^{15}\ \text{m} \end{aligned} $$小孔成像:物体上点 $A$ 发出的光经小孔 $O$ 在屏上成点 $A'$。设物距屏距分别为 $a,b$,物高 $h$,像高 $h'$。由相似三角形得:
$$ \begin{aligned} \frac{h'}{h} &= \frac{b}{a} \\ \text{即}\quad h' &= \frac{b}{a}\,h \end{aligned} $$日月食与影:点光源照射不透明球体,沿直线背光区形成本影与半影,几何上即由光源边缘与物体边缘连线所围区域决定。
推论与应用
- 光速有限性:光从太阳到地球约需 $500$ 秒,故所见为约 $8$ 分钟前的太阳。
- 光年是长度单位而非时间单位,用于衡量天体距离。
- 小孔成像成倒立实像,像的大小与孔的大小无关,只取决于物距与像距之比。
- 日食发生于月球位于太阳与地球之间且三者近似共线;月食发生于地球位于太阳与月球之间。
- 影的长度随光源、物体、屏的相对位置按直线投影几何确定。
5.2 光的反射定律
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| 符号 | 含义 | 单位 |
|---|---|---|
| $\theta_i$ | 入射角(入射线与法线夹角) | 度(°) |
| $\theta_r$ | 反射角(反射线与法线夹角) | 度(°) |
| $L$ | 光程 | 米(m) |
推导过程
定律表述:反射光线、入射光线与法线共面;反射角等于入射角 $\theta_i=\theta_r$。
大学视角——由费马原理(光程取极值)推导。设反射面为 $x$ 轴,入射点上方 $A(0,a)$,反射点 $P(x,0)$,接收点 $B(b,-c)$。实际路径长:
$$ \begin{aligned} S(x) &= \sqrt{x^2+a^2} + \sqrt{(b-x)^2+c^2} \\ \frac{dS}{dx} &= \frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}} - \frac{b-x}{\sqrt{(b-x)^2+c^2}} = 0 \\ \sin\theta_i &= \sin\theta_r \quad\Rightarrow\quad \theta_i=\theta_r \end{aligned} $$其中 $\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}=\sin\theta_i$,$\frac{b-x}{\sqrt{(b-x)^2+c^2}}=\sin\theta_r$,极值条件即反射定律。二阶导数为正,故为极小值。
推论与应用
- 平面镜成像:像与物关于镜面对称,成等大的正立虚像,物距等于像距。
- 球面镜公式(近轴近似):$\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{2}{R}=\frac{1}{f}$,凹面镜焦距 $f=R/2$。
- 反射现象应用:潜望镜、角反射器(逆向反射)、激光测距。
- 镜面反射与漫反射的区别在于表面平整度,漫反射仍满足每条光线各自的 $\theta_i=\theta_r$。
- 费马原理统一了反射与折射,是几何光学的最高原理。
5.3 折射定律与折射率
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| 符号 | 含义 | 单位 |
|---|---|---|
| $n_1,n_2$ | 两介质折射率 | 无量纲 |
| $\theta_1,\theta_2$ | 入射角、折射角 | 度(°) |
| $c$ | 真空中光速 | m/s |
| $v$ | 介质中光速 | m/s |
推导过程
惠更斯原理推导:波阵面上每点都是子波源。设平面波以入射角 $\theta_1$ 从介质 1 斜入射到分界面,波长分别为 $\lambda_1,\lambda_2$。
$$ \begin{aligned} \text{同相位条件}:&\quad \frac{AC}{\lambda_1} = \frac{BD}{\lambda_2} \\ AC &= \sin\theta_1\cdot AB,\quad BD = \sin\theta_2\cdot AB \\ \frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} &= \frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{n_2}{n_1} \\ \Rightarrow\quad n_1\sin\theta_1 &= n_2\sin\theta_2 \end{aligned} $$又因频率 $f$ 不变、$\lambda=v/f$,结合 $n=c/v$ 即得斯涅尔定律。视深推导:竖直观察时,由折射几何与近轴小角近似 $\sin\theta\approx\tan\theta$:
$$ \begin{aligned} \frac{h'}{h} &= \frac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2} \approx \frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \frac{n_2}{n_1} = \frac{1}{n} \\ h' &= \frac{h}{n} \end{aligned} $$推论与应用
- 光密介质折射率大、光速小;光疏介质折射率小、光速大。
- 视深公式 $h'=h/n$ 解释水中物体看起来变浅。
- 当 $\theta_1=0$ 时 $\theta_2=0$,垂直入射不偏折。
- 相对折射率 $n_{21}=n_2/n_1=v_1/v_2$。
- 折射率是波长函数,这是色散的物理根源(见 5.7)。
5.4 全反射与临界角
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| 符号 | 含义 | 单位 |
|---|---|---|
| $C$ | 临界角 | 度(°) |
| $n_1$ | 光密介质折射率 | 无量纲 |
| $n_2$ | 光疏介质折射率 | 无量纲 |
| $\mathrm{NA}$ | 数值孔径 | 无量纲 |
推导过程
全反射发生的条件:光从光密介质射向光疏介质($n_1>n_2$),且入射角足够大。由折射定律:
$$ \begin{aligned} n_1\sin\theta_1 &= n_2\sin\theta_2 \\ \sin\theta_2 &= \frac{n_1}{n_2}\sin\theta_1 \end{aligned} $$因 $n_1>n_2$,右边系数大于 1。当 $\sin\theta_2=1$ 即 $\theta_2=90^\circ$ 时达到极限,对应入射角即为临界角 $C$:
$$ \begin{aligned} n_1\sin C &= n_2\cdot 1 \\ \sin C &= \frac{n_2}{n_1} \end{aligned} $$当 $\theta_1>C$ 时 $\sin\theta_2>1$ 无实数解,折射光消失,发生全反射。光导纤维数值孔径:
$$ \mathrm{NA} = n_0\sin\theta_{\max} = \sqrt{n_{\text{芯}}^2 - n_{\text{包}}^2} $$推论与应用
- 全反射时能量全部反射,无折射损耗,光纤通信据此实现低损耗传输。
- 海市蜃楼:近地面空气密度上大下小,折射率上大下小,远处景物光线在上层发生全反射折回观察者。
- 钻石璀璨源于高折射率导致极小临界角,内部易全反射。
- 光纤中光线被束缚在纤芯,靠全反射在弯曲路径中导光。
- 临界角条件要求必须从光密射向光疏,反向不会发生全反射。
5.5 薄透镜成像公式
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| 符号 | 含义 | 单位 |
|---|---|---|
| $u$ | 物距(物到透镜) | 米(m) |
| $v$ | 像距(像到透镜) | 米(m) |
| $f$ | 焦距 | 米(m) |
| $m$ | 横向放大率 | 无量纲 |
推导过程
取近轴光线,利用两条特殊光线:(1)过光心不偏折;(2)平行主轴入射后过焦点。设物高 $h$,像高 $h'$,透镜中心为 $O$。
由光线(1)过光心,物、像、光心共线,三角形相似(物侧 $\triangle AOB$ 与像侧 $\triangle A'OB'$):
$$ \begin{aligned} \frac{|h'|}{h} &= \frac{v}{u} \quad\Rightarrow\quad m = \frac{v}{u} \end{aligned} $$由光线(2),平行主轴的物点光线过焦点 $F'$,结合顶点处另一对小三角形相似(焦距三角形与像距三角形):
$$ \begin{aligned} \frac{h}{h'} &= \frac{f}{v-f} \\ \text{又}\quad \frac{|h'|}{h} &= \frac{v}{u}\ \Rightarrow\ \frac{h}{h'} = \frac{u}{v} \end{aligned} $$联立消去 $h/h'$:
$$ \begin{aligned} \frac{u}{v} &= \frac{f}{v-f} \\ u(v-f) &= fv \\ uv - uf &= fv \\ \text{两边同除}\ uvf:\quad \frac{1}{f} - \frac{1}{v} &= \frac{1}{u}\ \Rightarrow\ \frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f} \end{aligned} $$推论与应用
- 符号约定:实像 $v>0$、虚像 $v<0$;凸透镜 $f>0$,凹透镜 $f<0$。
- $u>2f$ 成缩小倒立实像(照相机);$f<u<2f$ 成放大倒立实像(投影仪)。
- $u<f$ 成放大正立虚像(放大镜)。
- $m>0$ 正立(虚像),$m<0$ 倒立(实像)。
- 当 $u\to\infty$ 时 $v\to f$,无穷远物成像于焦点。
5.6 透镜组合与光学仪器
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| 符号 | 含义 | 单位 |
|---|---|---|
| $f,f_1,f_2$ | 组合焦距与各透镜焦距 | 米(m) |
| $\theta,\theta'$ | 物方与像方视角 | 弧度(rad) |
| $M$ | 角放大率 | 无量纲 |
推导过程
两薄透镜密接,透镜 1 将物成像于中间像距 $v_1$。对透镜 1:
$$ \begin{aligned} \frac{1}{u}+\frac{1}{v_1} &= \frac{1}{f_1} \end{aligned} $$此中间像作为透镜 2 的物,因密接故 $u_2=-v_1$,最终像距 $v$。对透镜 2:
$$ \begin{aligned} \frac{1}{-v_1}+\frac{1}{v} &= \frac{1}{f_2} \end{aligned} $$两式相加消去 $v_1$:
$$ \begin{aligned} \left(\frac{1}{u}+\frac{1}{v_1}\right)+\left(\frac{1}{-v_1}+\frac{1}{v}\right) &= \frac{1}{f_1}+\frac{1}{f_2} \\ \frac{1}{u}+\frac{1}{v} &= \frac{1}{f_1}+\frac{1}{f_2} \end{aligned} $$等效组合焦距 $f$ 满足 $\frac{1}{f}=\frac{1}{f_1}+\frac{1}{f_2}$。显微镜总放大率 $M = m_{\text{物}}\cdot M_{\text{目}} \approx \frac{L}{f_{\text{物}}}\cdot\frac{D}{f_{\text{目}}}$;望远镜角放大率 $M = \frac{f_{\text{物}}}{f_{\text{目}}}$。
推论与应用
- 近视眼晶状体过强或眼轴过长,像成在视网膜前,需凹透镜($f<0$)发散矫正。
- 远视眼像成在视网膜后,需凸透镜($f>0$)会聚矫正。
- 显微镜靠短焦距物镜获大横向放大,望远镜靠长焦距物镜获大角放大。
- 多片密接透镜可等效为单一薄透镜,用于消色差设计。
- 角放大率描述“视角增大倍数”,与横向放大率 $m$ 概念不同。
5.7 光的色散
高中 · 选修物理量说明
| 符号 | 含义 | 单位 |
|---|---|---|
| $n(\lambda)$ | 折射率随波长变化 | 无量纲 |
| $\delta_{\min}$ | 棱镜最小偏向角 | 度(°) |
| $A$ | 棱镜顶角 | 度(°) |
推导过程
同一介质对不同波长光折射率不同(正常色散:紫光 $n$ 大、红光 $n$ 小)。棱镜中光线经历两次折射,偏向角 $\delta$ 与折射率关系由折射定律逐次给出。
最小偏向角条件(对称光路,进出棱镜角相等)下:
$$ \begin{aligned} n &= \frac{\sin\frac{A+\delta_{\min}}{2}}{\sin\frac{A}{2}} \\ \text{因}\ n=n(\lambda),\ \text{故}\ \delta_{\min}&=\delta_{\min}(\lambda) \end{aligned} $$即不同波长有不同最小偏向角,白光过棱镜被分解为光谱。彩虹形成:日光在水滴中经历一次内反射与两次折射,各色光因 $n(\lambda)$ 不同而分离。
推论与应用
- 紫光折射率大、偏折大;红光折射率小、偏折小。
- 色散是透镜产生色差的根源,可用不同玻璃组合消色差。
- 棱镜光谱仪利用最小偏向角精确测定折射率。
- 彩虹主虹为一次内反射,色序外红内紫;霓(副虹)为二次内反射。
- 正常色散可用科希公式 $n=A+B/\lambda^2$ 近似描述。
5.8 杨氏双缝干涉
高中 · 选修物理量说明
| 符号 | 含义 | 单位 |
|---|---|---|
| $d$ | 双缝间距 | 米(m) |
| $L$ | 缝到屏距离 | 米(m) |
| $\lambda$ | 光波长 | 米(m) |
| $\delta$ | 光程差 | 米(m) |
| $\Delta x$ | 相邻明纹间距 | 米(m) |
推导过程
两相干点光源 $S_1,S_2$ 间距 $d$,到屏距 $L\gg d$。屏上点 $P$ 距中心 $x$,由几何,光程差近似:
$$ \begin{aligned} \delta &= S_2P - S_1P \approx d\sin\theta \\ \sin\theta &\approx \tan\theta = \frac{x}{L} \\ \Rightarrow\quad \delta &\approx d\frac{x}{L} \end{aligned} $$明纹条件(相长干涉)与暗纹条件(相消干涉):
$$ \begin{aligned} \delta &= k\lambda \quad (k=0,\pm1,\pm2,\dots)\ \text{明纹} \\ \delta &= (2k+1)\frac{\lambda}{2} \quad (k=0,\pm1,\dots)\ \text{暗纹} \end{aligned} $$相邻明纹对应 $k$ 增 1,位置 $x_k = k\frac{L}{d}\lambda$,故条纹间距:
$$ \begin{aligned} \Delta x &= x_{k+1}-x_k = (k+1)\frac{L}{d}\lambda - k\frac{L}{d}\lambda = \frac{L}{d}\lambda \end{aligned} $$推论与应用
- 条纹等间距,中央为 $k=0$ 零级明纹(白色光中央亮纹为白色)。
- 波长越长、条纹越宽;间距与 $L$ 成正比、与 $d$ 成反比。
- 由测得的 $\Delta x,d,L$ 可反算波长 $\lambda=\frac{d\,\Delta x}{L}$。
- 白光干涉出现彩色条纹,中央白边,两侧对称彩色分布。
- 双缝实验是两光源相干叠加的典型,奠定波动光学基础。
5.9 薄膜干涉与增透膜
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| 符号 | 含义 | 单位 |
|---|---|---|
| $n$ | 薄膜折射率 | 无量纲 |
| $d$ | 薄膜厚度 | 米(m) |
| $\delta$ | 往返光程差 | 米(m) |
| $\lambda$ | 真空中波长 | 米(m) |
推导过程
光垂直入射厚度 $d$ 的薄膜,在前后两表面反射后叠加。光线在膜内往返一次的光程:
$$ \begin{aligned} \delta_{\text{几何}} &= 2nd \end{aligned} $$半波损失:光从光疏射向光密介质反射时附加相位差 $\pi$,等效光程差增加 $\lambda/2$。设仅一次界面(如空气→膜→玻璃,膜折射率介于其间)产生一次半波损失,则总有效光程差:
$$ \begin{aligned} \delta &= 2nd + \frac{\lambda}{2} \end{aligned} $$增透(相消反射)要求总光程差为半波奇数倍:
$$ \begin{aligned} 2nd+\frac{\lambda}{2} &= (2k+1)\frac{\lambda}{2} \quad\Rightarrow\quad 2nd = k\lambda \end{aligned} $$若以膜内往返计、将半波损失并入条件,常写作增透条件 $2nd=(2k+1)\lambda/2$、增反条件 $2nd=k\lambda$(取决于界面折射率次序)。取最小厚度 $k=0$ 增透得 $d=\lambda/(4n)$。
推论与应用
- 肥皂泡因厚度不均、各色光满足不同干涉条件而呈现彩色。
- 增透膜常用于镜头,使某波长(常取黄绿光)反射最小、透射最大。
- 牛顿环:平凸透镜与平板间空气膜厚度线性变化,形成同心圆干涉环。
- 半波损失是否计入,取决于相邻两反射面“由疏到密”的次数。
- 等厚干涉条纹反映膜厚分布,可用于检测平面平整度。
5.10 单缝夫琅禾费衍射
高中 · 大学物理量说明
| 符号 | 含义 | 单位 |
|---|---|---|
| $a$ | 单缝宽度 | 米(m) |
| $\theta$ | 衍射角 | 弧度(rad) |
| $\lambda$ | 光波长 | 米(m) |
| $D$ | 孔径/透镜直径 | 米(m) |
推导过程
半波带法:将宽度为 $a$ 的缝沿垂直方向分为若干宽为 $\lambda/2$ 的窄带。上下边缘光线光程差为 $a\sin\theta$,若恰等于 $k\lambda$,可分成 $2k$ 个半波带,相邻带成对抵消。
$$ \begin{aligned} \text{暗纹条件}:&\quad a\sin\theta = k\lambda\quad(k=\pm1,\pm2,\dots) \\ \text{中央亮纹半角宽}:&\quad \theta_1 \approx \sin\theta_1 = \frac{\lambda}{a} \end{aligned} $$因第一暗纹对应 $k=1$,故中央主极大半角宽为 $\theta\approx\lambda/a$,全角宽 $2\lambda/a$。瑞利判据:两等强点光源恰可分辩时,一者的艾里斑中心落在另一者第一暗环上,最小分辨角:
$$ \begin{aligned} \theta_{\min} &= 1.22\,\frac{\lambda}{D} \end{aligned} $$推论与应用
- 衍射是光绕过障碍物的波动表现,缝越窄($a$ 小)衍射越显著。
- 干涉是多光束叠加、衍射是单缝内子波叠加,实际图样常二者并存(如多缝)。
- 分辨率受 $\theta_{\min}=1.22\lambda/D$ 限制,望远镜加大孔径 $D$ 可提高分辨本领。
- 中央亮纹最亮最宽,两侧亮纹强度迅速衰减。
- 人眼瞳孔直径约数毫米,决定了裸眼分辨极限约角分量级。
5.11 光栅方程
高中 · 大学物理量说明
| 符号 | 含义 | 单位 |
|---|---|---|
| $d$ | 光栅常数(相邻缝间距) | 米(m) |
| $\theta$ | 第 $k$ 级主极大衍射角 | 度(°) |
| $k$ | 光谱级次 | 无量纲 |
| $\lambda$ | 光波长 | 米(m) |
推导过程
光栅由大量等间距平行狭缝组成,相邻缝间距为 $d$。相邻两缝发出的光到达屏上 $P$ 点的光程差:
$$ \begin{aligned} \delta &= d\sin\theta \end{aligned} $$所有缝相干叠加,当任意相邻缝光程差为波长整数倍时,各缝贡献同相相加,出现主极大:
$$ \begin{aligned} d\sin\theta &= k\lambda \qquad (k=0,\pm1,\pm2,\dots) \end{aligned} $$此即光栅方程。缝数越多,主极大越尖锐、暗区越宽,故光栅光谱分辨本领高。由测得的 $\theta,k,d$ 可求波长 $\lambda=\frac{d\sin\theta}{k}$。
推论与应用
- 白光经光栅按波长展开为多级光谱,紫光偏折小、红光偏折大。
- 光栅光谱仪利用高分辨本领精确测定物质发光波长。
- 缺级:当主极大位置恰与单缝衍射暗纹重合时出现缺级。
- 光栅常数 $d$ 越小,同级光谱衍射角越大,色散越明显。
- 与双缝相比,光栅因多缝干涉使亮纹极窄、能量集中。
5.12 光的偏振与马吕斯定律
高中 · 大学物理量说明
| 符号 | 含义 | 单位 |
|---|---|---|
| $I_0$ | 入射线偏振光强 | 瓦/平方米(W/m²) |
| $I$ | 出射线偏振光强 | W/m² |
| $\theta$ | 两偏振片透振方向夹角 | 度(°) |
| $i_B$ | 布儒斯特角 | 度(°) |
推导过程
自然光各方向电矢量均匀,通过起偏器后变为线偏振光,强度减半 $I_1=I_0/2$。再经检偏器,将电矢量振幅 $E_0$ 沿透振方向分解:
$$ \begin{aligned} E_{\parallel} &= E_0\cos\theta \end{aligned} $$光强正比于振幅平方,故出射光强:
$$ \begin{aligned} I &\propto E_{\parallel}^2 = E_0^2\cos^2\theta \\ I &= I_1\cos^2\theta = \frac{I_0}{2}\cos^2\theta \end{aligned} $$若入射已是线偏振光(初强 $I_0$ 而非自然光),则 $I=I_0\cos^2\theta$。布儒斯特角:当反射光与折射光互相垂直时反射光全为垂直于入射面的线偏振光,此时:
$$ \begin{aligned} \tan i_B &= \frac{n_2}{n_1} \end{aligned} $$推论与应用
- $\theta=0$ 时 $I=I_0$ 最亮;$\theta=90^\circ$ 时 $I=0$ 消光,两偏振片正交。
- 自然光过起偏器强度减半,与起偏器方向无关。
- 布儒斯特角下反射光为完全线偏振光,用于产生偏振光。
- 偏振太阳镜利用正交偏振片削弱水面、路面眩光。
- 偏振是横波特有现象,证明光是横波而非纵波。
5.13 光的波粒二象性
大学 · 衔接物理量说明
| 符号 | 含义 | 单位 |
|---|---|---|
| $E$ | 光子能量 | 焦耳(J) |
| $h$ | 普朗克常量 | J·s |
| $\nu$ | 光频率 | 赫兹(Hz) |
| $p$ | 光子动量 | kg·m/s |
| $\lambda$ | 光波长 | 米(m) |
推导过程
爱因斯坦光子假说:光由光子组成,每个光子能量与频率成正比:
$$ \begin{aligned} E &= h\nu \end{aligned} $$光子静质量为零,由相对论质能关系与动量能量关系 $E=pc$(对无质量粒子)得:
$$ \begin{aligned} E &= pc \\ p &= \frac{E}{c} = \frac{h\nu}{c} \end{aligned} $$又因真空中 $c=\lambda\nu$,即 $\nu=c/\lambda$,代入:
$$ \begin{aligned} p &= \frac{h\nu}{c} = \frac{h}{\lambda} \end{aligned} $$此即光子的德布罗意关系,将“波动量”$\lambda$ 与“粒子量”$p$ 统一。
推论与应用
- 光电效应中光子能量 $h\nu$ 需大于逸出功才能打出电子。
- 光子动量解释光压与康普顿散射中波长的改变。
- 德布罗意关系 $p=h/\lambda$ 同样适用于电子等实物粒子,引出物质波。
- 频率越高(波长越短)的光子能量与动量越大,如 X 射线、伽马射线。
- 本章波动光学与下一章量子理论由此衔接:光既是波也是粒子。